●定規とコンパスによる任意の角の3等分法  The trisection of an angle with ruler and compass

実用的な三等分法が出来ましたので、どうぞご利用ください。 Since you did the trisection of an angle method, please use.

何かご不明な点など、お尋ねになりたい方はメールを下さい。Some unknown points etc, should give me mail. matsuda@manga.co.jp

★ 注)任意角の幾何三等分は不可能であると証明されています。    無分別な試みはあなたの人生を潰します!お止めください。
          この三等分法は、代数学的な作図の解法で、松田和裕オリジナルの発案です。製図やデザインなどの技法としてご活用ください。


●ジオシティーズのハンドルネーム"ピタゴラス"さんより評をいただきました 投稿日時:2003年4月08日 20時24分41秒
一般に、
k = sinA-------------------(1)
x = sin(A/3)----------------(2)
として、三角形の加法定理などを使って変形すると、
x^3 - 3/4x + k/4 = 0--------(3)
となります。
このxを利用すると角Aから角A/3を得ることができます。
しかし、このxは有理数体上で規約な3次の代数方程式の解であって、角Aから定規とコンパスだけを使って有限回の操作で求めることは不可能です。しかし代数的には可能です。
 ご指摘の方法ではホームページに描いておられる図面の点Tを与えることで(4)を解くことに置き換えておられることになり、実用的には(4)を解くよりはるかに簡単で良い方法です。
古典幾何学的には問題ですが実用的には間違いは何もないと思います。 すばらしい発見、いや方法の発明であると思います。


★ 私の3等分法は代数的な解法ですが、実際に分度器で図ったり、
紙の厚みのある折り紙で3等分するよりも、理論上はより正確です。
小学校低学年生でも、素早く簡単に任意角の実用的3等分が可能!
※ コンパスと定規活用の点で、アルキメデスの方法とも異なります。
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最初に任意の角を得ます。 (※作業が困難な広角、狭角は、2等分にしたり、2倍にするなどの事前加工で解決できます。)

定規とコンパスによる任意の角の3等分法

任意の角∠BACに点Dを加え、ひし形ABDCを求める。

点Aと、定規とACの垂直二等分線との交点をT、CDとの交点をQとし、
CT=CQを定規とコンパスで定めれば、∠QAC:∠BAC=1:3となる。

●定規は点Aを通るように固定しています。
●コンパスはCTとCQの長さの同期を取るために使用しています。

1).

2).

3).

 

4).

5).終わり(END)

●証明(prove)


証明:(三角形の外心及び、ひし形定理による)
ひし形ABDCで、線分AC上の垂直二等分線…,慮鯏世Pとする。
図の線分AQで、∠ACQに線対称な∠ARQを求め、 四角形ARQC…△箸垢襪箸、線分CT=CQなので
四角形TRQCはひし形である…

△ARCで、,漏或瓦鯆蠅瓩訐なので線分AT=RT=CT。三角形の外心定理より、∠RAC:∠RTC=1:2。…

△茲蝓□RAC=∠QAC=2:1,  ∠RCT=∠QTC=2:1。またより∠RTC=∠RQC,∠QTC=∠TQC。…

△任連ACQ=180−∠Aなので、ひし形定理により∠RAC+∠RQC=2∠A。…

,,Δ茲蝓□QAC:∠BAC=1:3。
                                                                                             証明終わり。

                                                  平成15年4月3日       松田 和裕

別解(Yahoo数学掲示板Le_pierrot_de_Salima_1er (32歳/男性/広島) さんより。Thanks 2003/11/15 8:39)


 ”トマホーク”と呼ばれる L 型定規に半円をくっつけたような器具を用いると角の三等分はできるのですが、それと同じ方向で角の三等分問題を考えてみたということでしょうか。

 ところで、三等分の証明ですが、以下の方法がより簡単だと思います。
( manganet55 さんの HP の 「 5).終わり(END) 」 の図を用います。 )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

∠CAT = θ とする。 △TCA と △CTQ が共に二等辺三角形であるから、
 ∠CQT = ∠CTQ = ∠CAT + ∠ACT = 2θ。
線分 AB と線分 CD は平行だから、
 ∠BAT = ∠CQT = 2θ。
よって
 ∠BAC = ∠BAT + ∠CAT = 3θ
 ∴ ∠BAC : ∠CAT = 3 : 1。


The trisection of an angle with ruler and compass .

           prove
∠BAC:
AB=AC

D;
AB=BD
◇ABDC:
AB=BD=DC=CA

CT=CQ(=AC)
∠QAC:∠BAC=1:3


◇ABDC
P;
⊥AC,AP=PC

∠ACQ=∠ARQ
CT=CQ
◇ARQC:
AR=RQ=QC=CA

△ARC:
AT=RT=CT
∠RAC:∠RTC=1:2

∠RAC=∠QAC=2:1
∠RCT=∠QTC=2:1
∠RTC=∠RQC,∠QTC=∠TQC

∠ACQ=180−∠A
∠RAC+∠RQC=2∠A

∠QAC:∠BAC=1:3

END

April 3, 2003 Kazuhiro Matsuda



The trisection of an angle crushes life! Please stop.
This trisection of an angle is a solution method of algebraic drawing, and is the suggestion of Kazuhiro Matsuda original .
Please utilize as techniques, such as drafting and a design.

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