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激しくガイシュツ問題

1 :ゆかり
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Sorry,this page is JAPANESE only.
2005/06/23 1年ぶりくらいに更新

Q.
上のキャラは誰ですか?
A.
数学板のマスコットキャラ、ゆかりちゃんです。
顔文字板の「28」さんに作っていただきました。

数学板について

  1. 132人目の素数って?
  2. さくらスレって?

数字・数値・実数・計算系

  1. 1=0.9999・・・?
  2. 1=-1? √(-1) を使った矛盾
  3. a=0?
  4. a^0=1?0!=1?
  5. 0/0 = ?
  6. 0^0 = ?
  7. e^(iπ) = -1 ?

数字を使ったパズル系

  1. 3,3,7,7,と+−×÷()を使って10を作るには?(その他の数字もあり)
  2. ○○○○○ - ○○○○ = 33333New!

図形系

  1. 三角形の面積が変わった?
  2. 正方形の中に扇形。中心の図形の面積は?

確率・期待値系

  1. 両面赤、両面青、片面赤片面青の3枚のカードが・・・
  2. ドアが3個、うち当たりが1個。選んだ後に司会者がはずれを1つ開ける・・・
  3. 3人の囚人。Bが殺されることを知ったAは、助かる確率が増える?
  4. 2つの封筒があり、片方にはもう片方の2倍の金額が
  5. n種類のおまけを全部揃えるには・・・

天秤・計り系

  1. コインが9枚あります。天秤を2回使って・・・
  2. コインが12枚あります。天秤を3回使って・・・
  3. コインが13枚あります。天秤を3回使って・・・
  4. コインの入った袋が10袋あります。計りを1回だけ使って・・・

正直族とうそつき族

  1. 正直族とうそつき族がいます。1回の質問で道を・・・

その他

  1. 3人が10$ずつ・・・1$はどこへ・・・
  2. ある家族がいます。川を渡りたいのですが・・・
  3. 水晶玉に、数字を当てられる・・・10の位と1の位を足して・・・
  4. 南に1キロ、東に1キロ、北に1キロ





Q.
132人目の素数って?
A.
132番目の素数=743=ななしさんです。ちなみに7743は3の倍数なので素数ではありません。
「さん」がかぶってるのはご愛敬と言うことで。

Q.
さくらスレって?
A.
数学板の3大スレの1つ、「わからない問題はここにかいてね」スレです。
http://cheese.2ch.net/math/kako/967/967755172.html
これが初代さくらスレです。名前の由来はここからですね。

ああ、さくらってのは、「CC(カードキャプター)さくら」のヒロインです。

Q.
1/3 = 0.333・・・
両辺に3をかけて
1=0.999・・・

A.

1=0.999… その9.999…
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
詳細はこちらへどうぞ。
結論を言うと、1=0.999・・・です。
ちなみに、1=0.999・・・9 は間違いです。

数IIIの無限級数を習っていれば
0.999・・・ = 0.9 + 0.09 + ・・・ = Σ[k=1〜∞]{9/(10^k)} = 1 だとすぐに分かります。



Q.
1 = 1*1 = √1*√1 = √(1*1) = √{(-1)*(-1)} = √(-1)*√(-1) = -1
∴1 = -1
なんで?
A.
「a>0,b>0のとき」√a*√b = √(ab) は成立しますが、-1<0なので、上記式は成り立ちません。
つまり、√{(-1)*(-1)} = √(-1)*√(-1) は成り立たないわけです。

Q.
A.

Q.
どうしてa^0 = 1 なんですか?
どうして0! = 1 なんですか?
A.
そう定義したから。
いやまぁそれだけじゃあそっけないので・・・。

高校生なら、

3^3 = 27
3^2 = 27/3 = 9
3^1 = 9/3 = 3
3^0 = 3/3 = 1
・・・

4! = 24
3! = 24/4 = 6
2! = 6/3 = 2
1! = 2/2 = 1
0! = 1/1 = 1
・・・

といった理解でいいと思います。

Q.
0/0 っていくつ? 0?1?
A.
どちらでもありません。不定形と言って、未定義なのです。
なぜなら、どんな値に定義しても、矛盾が生じるからです。

lim[x→0](x/x) = 1 ですし、lim[x→0](2x/x) = 2 ですからね。

Q.
0^0 っていくつ? 0?1?
A.
どちらでもありません。不定形と言って、未定義なのです。
なぜなら、どんな値に定義しても、矛盾が生じるからです。

lim[x→0](x^x) = 1 ですし、lim[x→0](x^(log{x}(e))) = e ですからね。

Q.
e^(iπ) = -1
なんで?
A.
オイラーの公式
e^(ix) = cos(x) + isin(x)
これに x = πを代入して
e^(iπ) = cos(π) + isin(π) = -1 となります。

Q.
1,1,9,9,と+−×÷()のみで10を作るには?
1,1,5,8,と+−×÷()のみで10を作るには?
3,4,7,8,と+−×÷()のみで10を作るには?
3,3,7,7,と+−×÷()のみで24を作るには?
3,3,8,8,と+−×÷()のみで24を作るには?
A.
(1+(1/9))*9 = 10
8/(1-(1/5)) = 10
(3-(7/4))*8 = 10
(3+(3/7))*7 = 24
8/(3-(8/3)) = 24

切符についてる4つの数字で10を作る遊びが流行ったので(私は今でもやってます(笑))、
切符問題とかとも言われていますね。

Q.
○○○○○ - ○○○○ = 33333 丸の中に0〜9の文字を入れて等式を完成させてください。
A.
41268-7935=33333
41286-7953=33333

Q.

何で面積が変わったの?
A.
この図形は三角形ではありません。
斜辺をよく見て下さい。赤い部分の斜辺の傾きが3/8、それに対して青の部分は 2/5 です。
つまり大きい図形の斜辺は直線ではないのです。

詳しく言うと、左の三角形の斜辺は少しへこんでいて、右の三角形の斜辺は少し膨らんでいます。
ここから1マス分の面積の違いが生じています。

Q.
黄緑色の部分の面積は?
A.


以下、扇形 X-YZ というのは、中心X、孤YZを持つ扇形のことを表します。

まずは、左端の図の水色の山形の部分の面積を求めます。
山形 = 扇形 B-EC + 扇形 C-BE - △BEC になります。
ここで、BE = EC = BC ( = 半径) より、△BEC は正三角形。よって、∠EBC=∠ECB=60°。
したがって、
扇形 B-EC = (1/6)πa^2
扇形 C-EB = (1/6)πa^2
△BEC = ((√3)/4) a^2
∴山形 = ( (1/3)π - ((√3)/4) ) a^2。
(正三角形の面積が求められないとかいう人は、親なり先生なり友達になり聞いてください)

次に、真中の図の赤い弓形の部分の面積を求めます。これは簡単です。
弓形 = 扇形 B-AC - 山形
ところで、扇形 B-AC の面積は (1/4) πa^2。
∴弓形 = ( ((√3)/4) - (1/12)π) a^2

最後に、右端の図を見ると・・・求める黄緑色の座布団形の面積は、
座布団形 = 正方形 ABCD - (弓形 * 4)
∴座布団形 = ( 1 - (√3) + (1/3)π) a^2

(※計算ミスがあれば、雑談スレ辺りで指摘お願いします)


Q.
3枚のカードがあります。1枚は両面赤(A)、1枚は両面青(B)、1枚は表が赤で裏が青(C)です。
今、目をつぶってカードを1枚選び、机の上に置いたところ、赤が見えました。
このカードの裏が青である確率は?
A.
先に言っておきます。答えは 1/3 です。 1/2 ではありません。

目を開けたときに見えるのは、A表、A裏、B表、B裏、C表、C裏、の6通りです。
今、赤が見えたと言っていますから、残る可能性はA表、A裏、C表、の3通りです。
このうち裏が青なのはC裏だけなので、確率は 1/3 です。

どうしても納得いかない方へ。
赤が見えた → AかC → 1/2 とお考えの方へ。
なら問います。「目を開けて色を確認しました。この時、今見た色と、その裏の色が違う確率は?」

当然 1/3 でしょう。

Q.
あるクイズ番組では優勝者に対して3つの扉がしめされます。
その扉のうち一つは当たりで海外旅行がもらえ、2つがハズレとなっています。

さて、優勝者が一つの扉を選びました。
すると司会者はニヤリとしながら、残り2つの扉のうち1つを開けました。
そこはハズレの扉でした。
ここで優勝者はそのまま最初に選んだ扉に決めるか、もう1つの開けられていない扉にかえるか選べます。

さて、優勝者はどうするのが得策でしょうか?
A.
この問題は、作者はおそらく次のような状況を想定しています。
この時、正解は「変えた方が特」になります。

(i)優勝者が、当たりをひいていた場合
扉を変えることで、ハズレになってしまいます。
(ii)優勝者が、ハズレをひいていた場合
扉を変えることで、当たりになります。他のハズレの扉は、既に司会者が開いていますからね。

そう考えると、扉を変えた場合、当たりはずれが逆転するわけです。
最初に当たりをひく確率は 1/3 ですから、変えれば当たる確率は 2/3 になるということです。

で、話を変えて、上の3つの条件が満たされていなければ答えは変わります。
だから、「問題文の不備だ」「答えは決まらない」という人もいますが、
そんなこと言ったら世の中のなぞなぞは全て不成立になるのでやめましょう。

ちなみに、初めてこの問題を見たときの私の解答はこうです。
「変えれば当たる確率は倍増するが、外れたときの悔しさも倍増する・・・」

・・・どうでもいいですか

Q.
3人の囚人A,B,Cと、看守がいます。
この3人の囚人のうち、2人は処刑されます。
3人が処刑される確率は等しく、どれも 1/3 だとします。

あるとき、Aさんは看守にこう問いました。
「俺が殺されるにしろ殺されないにしろ、BCのうち最低1人は殺されるわけだよな。
じゃあ、1人でいいからどちらが殺されるか教えてくれ。」

看守は答えました。
「・・・Bは殺される。」

Aは考えました。
(すると、もう1人殺されるのは、俺かCのどちらか。おお、殺される確率が 1/2 に減った!!)

この考えは正しいのでしょうか?
A.
間違ってます。
殺される確率は 2/3 で変わっていません。
分かりやすくまとめてみましょう。

ABが殺される : 1/3
ACが殺される : 1/3
BCが殺される : 1/3

ここまではOKですね。では次。

BCが殺される場合は、看守の台詞としては2通りあります。
Bが殺される、Cが殺される、の2通りですね。
これをふまえると・・・

1.ABが殺される ⇒ 看守曰く「Bが殺される」 : 1/3
2.ACが殺される ⇒ 看守曰く「Cが殺される」 : 1/3
3.BCが殺される ⇒ 看守曰く「Bが殺される」 : 1/6
4.          ⇒ 看守曰く「Cが殺される」 : 1/6

元の問題に振り返ります。
今、看守は「Bが殺される」と言ったわけですから、上の4つの項目のうち、2,4は消えます。
残る可能性は1,3ですよね?
1である確率は3である確率の2倍です。よって、Aが殺される確率は 2/3 から変わっていません。

Q.
ある商品を買うと、n 種類のうち1種類がランダムでおまけとしてついてきます。
このおまけをn種類全部集めるには、平均いくつ商品を買えばいいでしょう。
A.
これは結構難しいです。高校数学レベルをかなり理解していないと・・・。
結論を言うと、平均 n*{1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+・・・+(1/n)} 個、つまり n*Σ[k=1〜n](1/k) 個買えばOKです。
これを初等関数で表すのは不可能です。
n が十分大きいときは、この値は n*logn に近似できます。底は e です。
計算は、Windows 付属の関数電卓でも可能です。 例えば 100 種類だったら、[1][0][0][ln][*][1][0][0] の順で打てば出てきます。
[log] でなく [ln] であることに注意。

ではリンク。

・n種類揃えるには平均いくつ買えばいい?
ttp://taro.haun.org/teao.html
まぁ高校数学レベルで。

・m本買ったとき、全種類揃っている確率は?
ttp://cl.aist-nara.ac.jp/~taku-ku/teao/
分布の話になるので、大学レベルになります。

この辺りでしょうか。

Q.
2つの袋A、Bが用意されてます。
どっちかの袋にはどっちかの袋の2倍の金額が入っているらしいです。

さて、Aの袋をあけると 10000 円入っていました。
で、このままこの 10000 円を持ち帰ってもいいんですが、
Bの袋と交換することもできます。
(もちろんBの金額はまだわからない)

さぁ、取り替えるべきでしょうか?

期待値を考えてみます。
Bに入ってる金額は 20000 円かもしくは 5000 円。
その確率はともに 1/2 だから、Bに取り替えることで得られる金額の期待値は、

20000×1/2 + 5000×1/2 = 12500円

よって、取り替えたほうがいい。
あれ?すると、Aがいくらであろうと、Bの袋に変えたほうがいいということに・・・?
A.
あらかじめ言っておきます。超難問です。素人にはお勧めできません。
まぁ俺も素人ですから、深いところを突っ込まれたらやばいのですけどね。
一応自分が思っているところを書きます。

めんどいので、それぞれの金額を単にA、Bと書きます。

まず、「Aが奇数だったら、Bはその半分ではありえないので・・・」というのを解消するために、
A、Bともにすべてに実数を取り得るとします。

さて、Aに入っている数字は、−∞ 〜 ∞ まであり得ます。
これらがすべて「等確率」で出てくると仮定します。
この中から1つの数字を選ぶとき、有限の値(たとえば 10000)とかが出てくる確率は "0" です。
「0に近いけど、ちょっとはあるかもしれないじゃないか・・・」? いえ、そんなことありません。"0" です。
納得できない?
例えば、 10000 の出る確率が p だとすると、20000 の出る確率も p、30000 の出る確率も p になります。
このように、どの数の出る確率も p ならば、すべての確率を足すと、 p が "0" でないならば ∞ に発散してしまいます。
しかし、すべての確率を足すと 1 にならなければならないはずなので、これは矛盾します。
よって p は "0" になります。

にもかかわらず、10000 という有限の値が出てきたと言う事は、
「等確率で出てくる」という仮定が間違っていたことになります。
つまり、たとえば「大きい数字ほどでにくい」などの条件があったと思われます。
すると、Bが 20000 である確率と 5000 である確率は異なるため、
先ほどの期待値の計算は間違っていたということになります。


Q.
9枚のコインがあります。1枚は偽物で、本物よりも少し軽いのです。
天秤を2回使って、偽物を見つけるには?
A.
最初に3枚ずつ天秤に乗せます。釣り合えば残りの2枚を比べて終わりです。
傾いた場合、軽い方の3枚をABCとすると
AとBを乗せ、傾けば上がった方が軽く、釣り合えばCが軽いと分かります。

Q.
12枚のコインがあります。1枚は偽物で、本物と重さが違いますが、重いか軽いかは分かりません。
天秤を3回使って、偽物を見つけ、さらに重いか軽いかも判別するには?
A.
結構複雑ですが、可能です。
可能性は、コイン1が重い、コイン1が軽い、コイン2が重い、・・・、コイン12が軽い、の24通りあります。
これを、3回で上手く
24通り→8通り→3通り→1通り
となるように乗せていくのがコツです。
ttp://www.hi-ho.ne.jp/yoshik-y/mathematics/m035.html

この辺なんかが詳しいかと。

Q.
13枚のコインがあります。1枚は偽物で、本物と重さが違いますが、重いか軽いかは分かりません。
天秤を3回使って、偽物を見つけるには?
A.
1つ上の問題と似てますが、1枚多いです。代わりに、重いか軽いかを判別しなくてもOKです。
やはり

ttp://www.hi-ho.ne.jp/yoshik-y/mathematics/m035.html

この辺なんかが詳しいかと。いや上と同じですが。
ちなみに数セミ増刊『数学100の問題』の丸写しらしいです。

あとおまけ。
ttp://www.google.com/search?q=%22Scripta+Mathematica%22+Grossman+coins

Q.
10個の袋があり、1つ 10g のコインが十分に多く入っています。
ところがこのうち1袋は、中身のコインが全て偽物で、本物よりも1g重いのです。
計りを1回だけ使って、偽物を見つけるには?
A.
1つめの袋から1枚、2つめの袋から2枚、・・・、10つ目の袋から10枚、コインを取り出し、重さを量ります。
この時の重さの1の位の番号の袋が、偽物が入った袋です。

Q.
ある宿屋に3人の男が泊まりました。
宿屋の主人が1部屋 30 ドルの部屋しか空いていませんと言ったので、
男は1人 10 ドルずつ払って泊まることにしました。
しかし朝になり、
宿屋の主人がその部屋が1泊 25 ドルだということに気付いて
ボーイに 5 ドル返してくるように言われ、
男達に1ドルずつ返し、残り 2 ドルは自分のものとしました。
整理してみよう。
男達は1人 9 ドルずつ払ったことになります。
9×3 = 27 ドル。それにボーイがパクった 2 ドルを加えて 29 ドル。
はて?残り 1 ドルはどこへ消えたのでしょう…。
A.
27$ に 2$ を「足す」のがおかしいですね。
27$ = 25$ (店側の受け取るお金) + 2$ (ボーイがパクったお金)

Q.
ある旅人が、正直族の村に向かっていましたところ、道が2つに分かれていました。
片方は正直族の住んでいる正直村、もう片方はうそつき族の住んでいるうそつき村に続いている様です。

分かれ道に、2人の男が立っていました。2人は、片方は正直族で、もう片方はうそつき族です。
どちらが正直族でどちらがうそつき族かは分かりません。

さて、2人に1回質問をするだけで、正直村がどちらにあるかを知るにはどうすればいいでしょう。

A.
まぁ色々答えがあるでしょうが、有名なのは下の2つです。

「あなたの村はどちらですか?」
「あなたと同じ族の人に、正直村はどちらですか?と聞いた時、その人はどう答えますか?」

論理学で考えると下の答えに行き着くと思いますが、
上の答えの方がクイズっぽいような気がします。

Q.
ある家族(父、母、息子2人、娘2人、使用人、犬)がいます。
この家族が大きな川を渡ろうとしています。
船は1つしかありません。
しかも乗れるのは二人だけで、1人は運転手が必要です。
運転できるのは父と母、使用人だけです。
父は母がいないと娘を殺していまい、
母は父がいないと息子を殺してしまい、
犬は使用人がいないと家族を殺してしまいます。
どうすれば、誰も死なずに川を渡れるでしょうか?
何回往復往復してもかまいません。(犬も1人として数えます)
A.
(渡りたい岸を「対岸」現在いる岸を「元の岸」とする)
1.使用人が犬を対岸に置いて帰ってくる。
2.使用人が娘を対岸に連れていき、犬を連れて帰ってくる。
3.母が娘を対岸に置いて帰ってくる。
4.父が母を対岸に置いて帰ってくる。
5.使用人が犬を連れて対岸にわたる。(船はそのまま)
6.母が父を元の岸から連れて帰ってくる。
7.父が息子を元の岸から連れて帰ってくる。
8.使用人が犬を元の岸に連れていき、息子を連れて帰ってくる。
9.使用人が犬を元の岸から連れて帰ってくる。

平成教育委員会とかが好きそうな問題ですね。

Q.
ttp://www.gazo-box.com/flash/src/1063724657103.swf

水晶数字を当てられてしまいます。
A.
10 の位を a、1 の位を b とすると、最初の数字は 10a+b になります。
与えられた計算をすると、(10a+b) - (a+b) = 9a となり、9 の倍数になります。
右の一覧の 9 の倍数の欄を見ると・・・全て記号が同じですね。
この記号が水晶に出てくるわけです。

Q.
「南へ1キロ、東へ1キロ、北へ1キロ歩くと出発点に戻るような地点は?」
A.
とりあえず、ここでは「東」ってのは、「経線に沿って東」という意味で考えます。
つまり、日本から東に行くと、ブラジルではなくアメリカに到着するものと考えるってことです。

北極点。は、すぐ思いつくでしょうか。
それ以外にも正解はあります。

南極の少し上を考えてください。そこから南に1キロ下ります。
その後、東へ1キロ進みますが、ここでちょうど、南極を中心に1周することができれば、
最後に北へ1キロ歩くと元に戻ります。

スタート地点は、南極から
1キロ+(周の長さ1キロの円の半径) = 1+(1/(2π)) キロ 北、となります。

さて、南極を中心に1周と言いましたが、
よく考えると、1周でなくても、2周でも3周でもOKですね。
k周すると考えると、円の周の長さは 1/k キロなので、
1キロ+(周の長さ1/kキロの円の半径) = 1+(1/(2πk)) キロ 北、となります。

よって、答は
・北極
・南極から 1+(1/(2πk)) (km) 北
となります。

∞×∞+1 とかいう、よーわからん答が流行っているようですが、
こんな表記法は数学上はない(と思う)ので、無視しちゃって結構です。
たぶん、南極から 1+(1/(2πk)) (km) 北の点は、
緯度が自由なことから∞、さらにkが自由なことから∞、よって∞×∞とか考えてると思うのですが・・・。



Q.
A.

Q.
A.