循環する数その1

まずこの数字を見てください。
142857
この数字にはすごい性質があるんです。
この数字に1から7をかけてみましょう。
142857×1=142857
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
142857×7=999999
7はともかく、他が意味がわからない、という方も多いでしょう。
実はこの6つの数、全部142857の並びになっているんです。
つまり、285714は142857を2から読んで、7の後14と戻ってくればそれになります。
他も全てそうなっています。

何故こうなるのでしょうか?
1000000を7で割ってみましょう。
1000000÷7=142857・・・1
ここで142857が出てきました。次に2000000を7で割ることを考えてみましょう。
すると、商(答え)も余りも2倍されているはずですよね。
2000000÷7=142857×2・・・2
さて、商がどうなるのか計算してみましょう。
もちろん、142857×2でも計算できますが、
2000000÷7で計算してみましょう。
こうなっています。
ところで100000を7で割ったときはどうなっているのでしょう?
今回は分かりやすくするために1000000000000を7で割ります。
 こうなります。
さて、黄緑で囲ってあるところに注目してください。
これが2000000を7で割ったものと全く同じ振る舞いをしているんです。
1000000000000を7で割っていって余りが2になるところがあって、
そこからは2000000を割っているのと同じになってしまうのです。
ですから、2000000を7で割った商は1000000000000を7で割ったときの途中の部分からのものになるんです。
ですから142857に2をかけると142857と同じ並びの数字が出てくるのです。

142758に3をかけた場合は3000000÷7を考えます。
 こうなっています。
1000000000000を7で割ったときは
 こうです。
空色で囲っているところが3000000を割ったときと同じになっています。
ですから142857に3をかけたものもこの並びのままになります。
4から6も同じです。
7をかけると999999になるのは
1000000÷7=142857・・・1を
142857×7+1=1000000と書き換えれば分かります。

ちなみに8や9をかけるとどうなるのかというと
意味ないです。
理由その1 8000000÷7の商が142857×8にならない。
今までは余りも商も2倍や3倍するだけで出ましたが今回はそうはいきません。
なぜなら
8000000÷7=142857×8・・・8
ではないからです。余りが7より大きくなってはいけません。本当は
8000000÷7=142857×8+1・・・1
になります。
理由その2 1000000000000を7で割った筆算の余りで8や9が登場しない
7で割っているのですから余りが8や9になることはありません。
ですから2や3(やっていませんが4,5,6も)でやったように四角で囲うことはできません。
あれは余りがその数になったところから一回りするまでを囲っているので
余りで8や9が出てこない限り四角で囲うことはできないのです。

以上がちょっと変わった数、142857の説明です。
142857は結構有名なので元々知っている方もいたと思います。
ですから次回はこのような数をいくつか紹介しようと思います。



その2に続く。



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