微分法の応用

平均値の定理

> f <- function(x) x^3-6*x^2+4
> plot(c(-2,6),c(-30,10),type="n")
> par(pch=".")
> points(x,f(x))
> segments(-2,f(-2),6,f(6))
> k <- (f(6)-f(-2))/(6-(-2))
> f1 <- function(x) 3*x^2-12*x
> k2 <- x[abs(f1(x)-k)<0.001]
> k2
[1] 4.309431
> k2 <- x[abs(f1(x)-k)<0.01]
> k2
[1] -0.3090309 4.3094309
> k2 <- x[abs(f1(x)-k)<0.1]
> k2
[1] -0.3150315 -0.3130313 -0.3110311 -0.3090309 -0.3070307 -0.3050305
[7] -0.3030303 4.3034303 4.3054305 4.3074307 4.3094309 4.3114311
[13] 4.3134313 4.3154315
> x0 <- -0.3090309
> abline(-f1(x0)*x0+f(x0),f1(x0),col="red")
> x0 <- 4.3094309
> abline(-f1(x0)*x0+f(x0),f1(x0),col="blue")
関数 y=f(x)=x^3-6*x^2+4 とその導関数 y=f1(x)=3*x^2-12*xについて検討します。 平均値の定理とは滑らかな関数についてそのどの二点をとって平均変化率を求めても そのあいだにそれに等しい接線の傾きがあるということです。



導関数と増減

> plot(c(-2,6),c(-30,10),type="n")
> par(pch=".")
> points(x[f1(x)>0],f(x)[f1(x)>0],col="red")
> points(x[f1(x)<=0],f(x)[f1(x)<=0],col="green")
> points(x[abs(f1(x)-0)<0.1],f(x)[abs(f1(x)-0)<0.1],pch="*")
> points(x,x^3)
> points(x[abs(3*x^2-0)<0.1],(x^3)[abs(3*x^2-0)<0.1],pch="*")
前の関数について導関数の正負と増減の関係についてみてみましょう[ ]による限定はその条件が真のときだけ その前にあるオブジェクトを採用します。 導関数が正の部分は赤で負か0の部分は緑で表示します。また導関数の絶対値が0.1未満のところを 「*」で示します。さらに導関数が0でも極値にならない例としてy=x^3を見てみましょう。











二階の導関数と凹凸

> f2 <- function(x) 6*x-12
> plot(c(-2,6),c(-30,10),type="n")
> points(x[f1(x)<=0 & f2(x) >= 0],f(x)[f1(x)<=0 & f2(x) >= 0],col=2)
> points(x[f1(x)<=0 & f2(x) <= 0],f(x)[f1(x)<=0 & f2(x) <= 0],col=3)
> points(x[f1(x)>=0 & f2(x) <= 0],f(x)[f1(x)>=0 & f2(x) <= 0],col=4)
> points(x[f1(x)>=0 & f2(x) >= 0],f(x)[f1(x)>=0 & f2(x) >= 0],col=5)
さらに前の関数について二階の導関数とグラフの関係を見てみます。[ ]内の「&」は両方満たしたとき 真と判断します。















単振動

> plot(c(-3,7),c(-5,5),type="n")
> par(pch=".")
> points(2*cos(2*pi*t),2*sin(2*pi*t),col=ceiling(6*t))
> points(3*t+3,2*sin(2*pi*t),col=ceiling(6*t))
等速円運動を射影した様子を単振動と言います。0 \le; t \le 1について角速度 2*piの 運動を6分割して円上とy-tグラフを並べました。















> plot(c(-0.1,1.1),c(-40,40),type="n")
> par(pch=".")
> points(t,sin(2*pi*t),col="red")
> points(t,2*pi*cos(2*pi*t),col="green")
> points(t,-4*pi^2*sin(2*pi*t),col="blue")
単振動の変位と速度と加速度です。

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