三角関数

三角関数のグラフ
> x<- seq(-10,10,by=0.001)
> par(pch=".")
> plot(x,sin(x),col="blue")
> points(x,cos(x),col="red")
> points(x,tan(x),col="green")
三角関数のグラフを色分けして表示してみました。 三角関数の角度は弧度法つまりラジアンの単位で計ります。 これは 2*pi=360度(ただしpiは円周率)として後は 度数法とまったくの正比例の単位です。 「col="{色名}"」が色の指定の部分です。これは 「col={色番号}」とすることもできます。
> plot(x,tan(x),col="yellow")
上のグラフでは正接の表示がわかりづらいので、改めて描くことにします。 ただこれも各軸の尺度が自動的にとられるため、本当によく見たいy座標の 値の小さい部分が見づらくなっています。先に軸を設定してしまいましょう。
> plot(c(-10,10),c(-12,12),type="n")
> points(x,tan(x))
一行目が座標軸の設定です。x軸の範囲が-10〜10で、y軸は-12〜12 とします。書き方が間違いやすいので注意してください。








(sin(x))^2+(cos(x))^2=1
> plot(x,(cos(x))^2)
> points(x,(sin(x))^2,col="red")
> plot(x,(sin(x))^2)
> points(x,(sin(x))^2+0.1*(cos(x))^2,col="yellow")
> points(x,(sin(x))^2+0.3*(cos(x))^2,col="red")
> points(x,(sin(x))^2+0.5*(cos(x))^2,col="blue")
> points(x,(sin(x))^2+0.7*(cos(x))^2,col="brown")
> points(x,(sin(x))^2+0.9*(cos(x))^2,col="purple")
> points(x,(sin(x))^2+0.95*(cos(x))^2,col="orange")
> plot(x,(cos(x))^2,col="green")
> for(i in 1:10) points(x,(cos(x))^2+(i/10)*(sin(x))^2,col=i)
(sin(x))^2+(cos(x))^2=1を確認します。最初の二行で(sin(x))^2と(cos(x))^2がどんな関数か 確認してください。その後の七行は(sin(x))^2に(cos(x))^2を少しづつ加えていく過程です。 入力が面倒でしょうから、ひとつ入力してEnterを押したら上カーソルを押してみてください。 直前の行が表れますのでそれを修正すれば手間が省けます。 最後の二行は逆に(cos(x))^2に(sin(x))^2を少しづつ加えていますが、面倒なのでfor文を 使いました。{i}が{1:10}を動きながらその後の文を繰り返します。「1:10」は 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10を表します。






加法定理
> y <- 5
> plot(x,sin(x+y))
> points(x,sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y),col="red")
> points(x,sin(x+y+0.1),col="green")
> plot(x,cos(x+y+0.1))
> points(x,cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y),col="red")
>
加法定理の確認です。ここではy=5のときを扱いましたが好きな値で試してみてください。 2,3行目で加法定理が確認されます。まったく重なっているためにグラフ表示が 面白くないので4行目でほんの少しだけ左にずらしたグラフを描いています。












正弦・余弦の一般的な定義
> plot(cos(x),sin(x))
単位円による正弦・余弦の定義の確認です。図が円ではなく 楕円になっているのはx軸とy軸の尺度の取り方が違うためです。



















奇関数・偶関数
> plot(x,sin(-x))
> points(x,-sin(x),col="red")
> points(x,sin(-x+0.1),col="green")
> plot(x,cos(-x+0.1))
> points(x,cos(x),col="red")
正弦と余弦がそれぞれ奇関数f(-x)=-f(x)と偶関数f(-x)=f(x)に なっていることの確認です。一・二行目で正弦について確認してください。 三行目はやはり重なってしまって表示できないものを少しだけずらして 表示します。















三角関数の周期性
> plot(x,sin(x))
> points(x,sin(x+2*pi),col="red")
> points(x,sin(x+0.1),col="green")
> plot(x,cos(x+0.1))
> points(x,cos(x+2*pi),col="red")
> plot(c(-10,10),c(-12,12),type="n")
> points(x,tan(x+0.1))
> points(x,tan(x+pi),col="red")
三角関数の周期性の確認です。やはり重なって見えないので少し ずらして表示します。














合成公式
> a <- 3
> b <- 5
> plot(x,a*sin(x)+b*cos(x))
> r <- sqrt(a^2+b^2)
> c <- b/abs(b)*acos(a/r)
> points(x,r*sin(x+c),col="red")
> points(x,a*sin(x+0.1)+b*cos(x+0.1),col="blue")
合成公式の確認です。ここでは係数をかってに3と5としてみました。 五行目が角度を求める部分ですが逆三角関数arccosを使っています。 高校範囲外ですが気になる人は誰かに聞いてください。














テイラー展開
> plot(x,sin(x))
> points(x,x,col="red")
> points(x,-x^3/(3*2)+x,col="yellow")
> points(x,(x^5/(5*4)-x^3)/(3*2)+x,col="blue")
> points(x,((-x^7/(7*6)+x^5)/(5*4)-x^3)/(3*2)+x,col="brown")
> points(x,(((x^9/(9*8)-x^7)/(7*6)+x^5)/(5*4)-x^3)/(3*2)+x,col="purple")
> points(x,((((-x^11/(11*10)+x^9)/(9*8)-x^7)/(7*6)+x^5)/(5*4)-x^3)/(3*2)+x,col="orange")
おまけです。

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