Visual C++ を使ってルービックキューブを作ってみよう

■３次元図形表示技術■

２次元への投影方法

１．投影の種類

　データとしては３次元で存在する図形も、表示する時は２次元に変換しなくてはなりません。ディスプレイが２次元である以上これは避けられないことです。
　３次元空間の適当な位置に投影面（スクリーン）を指定し、投影します。この投影の方法には２種類の方法があります。次に紹介する平行投影と透視投影です。

　平行投影
　図のように投射線が平行なので、遠くの物も近くの物も同じ大きさで投影されます。遠近感は出せませんが、辺の長さや面積が実際の大きさと同じ比率になります。
　この方法は、３次元CADシステムで使われています（僕はCADシステムについては良くわかりませんが）。
　透視投影
　中心投影ともいい、図のように、投影する物体から視点の１点に全ての投射線が集中する方式です。人間が物を見るときと同じように、遠くの物ほど小さく表示され、遠近感を出す事ができます。
３次元ＣＧではこの方法が使われます。

２．投影変換

　ワールド座標系上の３次元物体を２次元座標系に直すことを透視変換といいます。ルービックキューブでは透視投影を使うので、透視投影の透視変換について考えます。
　透視変換は次のように行なうことができます。

　下の図のように注視点と視点を設定します。すると図の右にある式のように、各値を決めることができます。

　ここで、ワールド座標系で定義された点（ｘ_w 、ｙ_w 、ｚ_w ）は、次のように視点座標系に変換できます。　[　詳細はここ　]

　ｘ_e の座標にｚ成分が入っていないことに注意。

　最後に、こうして求められた視点座標系の座標を、投影面上の座標（ディスプレイの座標）に直します。
それには左図の式を使います。
（ｘ'_e 、ｙ'_e ）が投影面上の座標です。

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