螺旋って?

アルキメデスの螺旋とベルヌーイの螺旋
 

 螺旋っていったいなんだろう。螺旋の螺は巻貝のこと、旋はまわることを意味している。巻貝のようにくるくる回りながら巻きついているような形のことを言う。
 螺旋にも種類があるようだ。アルキメデスの螺旋とベルヌーイの螺旋という名前で呼ばれている螺旋の種類がある。アルキメデスとベルヌーイ、う〜ん偉い人たちだね。この人たちも螺旋の不思議を考えていたのだろうか?

螺旋の名前(呼び方)
それぞれいくつかの呼び方があるが、同じものをさしている。
アルキメデスの螺旋
一様螺旋
ベルヌーイの螺旋
対数螺旋
等角螺旋
 水をくみ上げるためのポンプにアルキメデスの螺旋ポンプという名前がついているものがある。
再現例(岐阜物理サークル第201回例会)
数学の世界では有名なヤコブベルヌーイという人が定式化した。
飛行機が飛ぶ原理の説明に必ず出てくる流体力学の「ベルヌーイの定理」、これを発見したダニエルベルヌーイはヤコブベルヌーイの甥にあたる。
実例
ロープにように太さの一様なものを巻いてできる螺旋。巻くものは紐でもホースでも何でも良い。蚊取り線香もアルキメデスの螺旋。
今は少なくなったけれどSPやLPのレコード盤の溝もアルキメデス螺旋。
人工物に多い。
アンモナイト、オウムガイ、巻貝、二枚貝からヤギの角、人間のつめまで自然界にたくさん見られる。
この螺旋を見つけて調べていくのがサイトとのテーマです。

あれれ!!隣のロープを巻いたアルキメデスの螺旋の中にもベルヌーイの螺旋(等角螺旋)があるのじゃない?
螺旋の性質
回転する円盤の中心から一定の速さで外に向かう物体が描く軌跡。
周間の距離(下の図ではc)が一定になる。
進行方向を基準にしてある1点が同じ方向に見えるように運動する物体が描く軌跡。飛行機と夏の虫
回転中心から引いた線と螺旋の接線とがなす角度(下の図のb)が常に一定。
螺旋の方程式
 螺旋は、極座標を使い極方程式で表すのが良い。極座標は座標上の一点から極点へ引いた直線と長さ(r)とその直線と極軸とのなす角(θ)で表す。
円になるのはどっち?
 
 極方程式で円になるのは、θがどのように変化してもは一定の値になることであるから、=定数、という式になればよい。
 
アルキメデスの螺旋では、aの値がどのようになっても、=定数 にはならない。

 つまり、円はアルキメデスの螺旋ではない。
ベルヌーイの螺旋では、の値が90度(π/2)のとき、cotb=0となり、eのゼロ乗は1になり、a、つまり半径aの円になる。

 ベルヌーイの螺旋(対数螺旋)の中に円は含まれている。



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