準ルーロ−4面体


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【問題】ルーローの三角形の、三次元への拡張の「ルーローの四面体」がありますが、そのルーローの四面体を実際に製作して、インターネット上で発表された方々がおられます。 岩手の高校の数学教師のみやじさん

『http://www25.tok2.com/home/toretate/d020103.html』

と、YPC横浜物理サークルの車田浩道さん

『http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/8494/NEWS/ypc145/ypc145.htm#ルーローの四面体』

です。ところが、このルーローの四面体が「定幅でない」事が、同じ方々から発表

『http://www25.tok2.com/home/toretate/d020104.html』
『http://www2.hamajima.co.jp/~tenjin/ypc/ypc021.htm』
約2.5%膨れていることが判ったのです。ゆえに、ルーローの四面体の内部の点同士でも、距離1より大なる、点の組があることになります。

ここで問題です。ルーローの四面体を「定幅に」改良できないでしょうか。不可能でしょうか?

以上は  数学の部屋に掲載された問題へのコメントを一部修正したものです。

なお ルーローの三角形については 次のHPが詳しいです。http://genryu.cside4.com/yoshitago/rurosubete.htm


【解答】  可能 

【検討結果】 ルーロ−4面体を改良して定巾立体を作ることができました。
  大部分はルーロ−4面体面(黄色面)でできていますが、辺に当たる部分を少しまるめてあります。図1参照。
 丸め方は、頂点を通る断面において、長い方が4面体の頂点2個を通る半径(6+√2)/8の円(青)、短い方はルーロ−面に接し 長い方の円をとおる円(赤)になっています。その半径は(2−√2)/8です。
 頂点以外の間の部分は対抗する正4面体の辺を含む面(緑)で切断したとき、長い方の円との交点(青)を通り、ルーロ−の面の切断線である円(黄)に接する小円(赤)にしてあります。
  そして、この丸めた面から反対側へ距離1のところにもう一つの面を張ります。残りの2辺付近も同様に丸めます。
 これらの対抗する2面は厳密には一致しないはずですが、数値計算してみると第2図の黄のWire-Frameと 青のWire-Frameで示されるように数値的には一致していると言ってよいようです。(短いほうの座標は引き伸ばしてある)
  第3図のWire-Frameは実際に回してみることができます。マウスでつかんで回してみてください。

第1図


第2図


第3図 マウスでつかんで回ります。