関係ある?ない?

[確率の講座9]
前節では、ある条件のもとに別のある事象の起こる確率「条件付確率」について学びました。この節では、ふたつの事象の間に因果関係のないときについての、確率の性質について説明します。

[解説:独立]

「ふたつの事象AとBに対して、互いに因果関係がないこと」を、数学的にはどのように定義したらよいでしょうか?その定義に、前回学んだ「条件付確率」を用います。事象A、Bに対して、P(B)は「Aが起こったという前提での、Bの起こる確率」でした。これと、単に「Bの起こる確率」であるP(B)とが等しくないとすると、事象AがBの起こり方に影響を与えていると考えざるを得ません。そこで次のように定義します。

2つの事象A、Bに対して、BがAに独立であるとは、
P(B)=P(B)
が成り立つときをいう。

まずP(A)もP(B)も0でないとして話をすすめましょう。前回の講座で学んだように、P(A)×P(B)=P(A ∩B)でした。ここでAとBとをとりかえて条件付確率の定義の式を書くと、P(B)×P(A)=P(A ∩B)も成り立ちます。したがってP(A)×P(B)=P(B)×P(A)が成り立ちます。さて、いま「BがAに独立である」とき、上の定義からP(B)=P(B)でしたから、これを上の等式に代入すると、P(A)×P(B)=P(B)×P(A)となり、P(B)≠0なので両辺をP(B)で割ってP(A)=P(A)が得られます。このことは、「AがBに独立である」ことを示していることに注意しましょう!
まとめると、「BがAに独立ならば、AがBに独立である」ことが言えたわけです。結局、上の定義はAを主役にしてもBを主役にしても同じことを言っていることがわかりました。このことをまとめて「AとBとが互いに独立である」といいます。なお、P(A)=0またはP(B)=0の場合も、AとBとが互いに独立であると定義します。実際、片一方が起こらないのですから、もう片方は影響を受けようがないですね。

AとBとが互いに独立であるとき、すなわちP(B)=P(B)のとき、これを条件付確率の定義式P(A)×P(B)=P(A ∩B)に代入すると、

P(A)×P(B)=P(A ∩B)

が成り立つことがわかります!「積の法則」らしい形になりましたね。この等式を独立の定義としてもよく、以後は「AとBとは互いに独立である」とは、この等式「P(A)×P(B)=P(A ∩B)」が成り立つことを指すことにします。

さて、この定義からだけでは、独立の意味がつかみにくいかもしれません。例を挙げましょう。

(例1) ジョーカーを除くトランプ52枚から一枚を引くとき、
事象A:「スペードのカードを引く」
事象B:「絵札(J,Q,K,A)を引く」
とすると、AとBとは独立でしょうか?これを調べるために、P(A),P(B),P(A ∩B),P(B),P(A)をそれぞれ計算すると、P(A)=1/4、P(B)=4/13、P(A ∩B)=4/52=1/13、P(B)=4/13、P(A)=1/4、ですから、確かにP(B)=P(B)、P(A)=P(A),P(A)×P(B)=P(A ∩B)が成り立っています。AとBとの間に関係がないわけです。
前に「AとBとが背反である(=同時に起こらない)」ことの定義もしましたが、「背反」と「独立」の間には一般に関係はありません。上の例1ではAとBとは背反ではなく、独立です。一方、

(例2) 1個のサイコロを一回振ったとき、
事象A:「偶数の目が出る」
事象B:「4以上の目が出る」
は互いに背反でなく、かつ独立ではありません。また、

(例3) 1個のサイコロを一回振ったとき、
事象A:「偶数の目が出る」
事象B:「奇数の目が出る」
は互いに背反で、かつ独立ではありません!また、

(例4) 1個のサイコロを一回振ったとき、
事象A:「偶数の目が出る」
事象B:「7の目が出る」
は互いに背反で、かつ独立です(P(B)=0なので)。

(練習) 以上の例2〜例4に書いてあることを確認してみましょう。

「独立」であるかどうかを判定するためには、定義に戻ってP(A)×P(B)=P(A ∩B)を確かめればよいわけです。が、場合によっては明らかに独立性がわかるものもあります(上の例4など)。ただ、例1など直感的に独立かどうかが直ちにわかりにくいものもあるので、注意が必要です。いろいろな例は次節の練習問題で見ていくことにします。