分配法則

任意の自然数A,B,Cについて、
A×(B+C)=A×B+A×C
(A+B)×C=A×C+B×C
が成立する。
これを分配法則という。

証明:
まずA×(B+C)=A×B+A×Cを証明しよう。
Cについての数学的帰納法を用いて証明する。

C=1のとき、
A×(B+1)
=A×B+A・・・積の定義より
=A×B+A×1・・・積の定義より
となり成立する。

C=Kのときに成り立つとすると、
A×(B+(K+1))
=A×((B+K)+1)・・・加法の順序は任意
=A×(B+K)+A・・・積の定義式より
=A×B+A×K+A・・・帰納法の仮定より
=A×B+A×(K+1)・・・積の定義式より
となりK+1のときにも成立する。

よって任意の自然数A,B,Cについて、A×(B+C)=A×B+A×Cである。

この結果と交換法則を組み合わせれば2つ目の式は容易に証明できる。
(A+B)×C=C×(A+B)=C×A+C×B=A×C+B×C
となり、成立することが分かる。

Q.E.D.

また括弧内の項目が増えた場合も同様の法則が成立する。
例えば、
A×(B+C+D)=A×(B+C)+D)=A×(B+C)+A×D=A×B+A×C+A×D
となり括弧の中が3項のときにも成り立つ。
任意の個数において成り立つことは数学的帰納法を使えば簡単に証明できる。

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