ここで、先程のネズミの数、
ａn+1＝２・ａn−４
and
ａ1＝１０
に関してもう一度考えてみましょう。
ネズミの具体的な数は、何匹になるのでしょう。
上の式でｎ＝１を代入してみますと、
ａ2＝２ａ1−４
＝２・１０−４
＝２０−４
＝１６
ですから、二年後は「１６匹」である事が分かります。
では、三年後、四年後の数は、何匹になるのでしょうか？
ａ3＝２ａ2−４
＝２・１６−４
＝３２−４
＝２８
ａ4＝２ａ3−４
＝２・２８−４
＝５６−４
＝５２
ａ5＝２・ａ4−４
＝２・５２−４
＝１０４−４
＝１００
ですから、３年後、４年後、５年後の数は、それぞれ、２８、５２、１００匹である事が分かります。
では、百年後の数は？
・・・・
そりゃぁ、計算できるのは出来るとは思いますが、やりますか？
これを９９回繰り返せば、数字は求まりますよ。
・・・・・
いやですね。そんなめんどくさい事は。
これが漸化式の欠点です。
「実際の現象」から、法則を導く上で、「漸化式」は「作り易い」というメリットがあるのですが、未来を予測するためには計算が大変なので使い難いという欠点があります。
でも、実は「ネズミが毎年倍になって、４匹死ぬ」場合のネズミの数は、一般項が、
ａn＝６・２n＋４
である事が分かっています。
試しに、ｎに「１、２、３、４・・・・」を代入して見てください。
ちゃんと、
ａ2＝１６
ａ3＝２８
ａ4＝５２
が求まるでしょう？
そうです、「漸化式表現」で、
ａn+1＝２・ａn−４
and
ａ1＝１０
と書ける数列は、「一般項」として
ａn＝６・２n＋４
と書ける数列は、同じ数列なのです。
つまり、「漸化式と一般項は書き換えられる」のです。
自然現象から直接一般項を求める事は、一般的に難しいです。
しかし、漸化式は比較的に簡単に求まります。
漸化式は大抵の場合、単純な数式操作で、一般項に書き換える事が出来ます。
一般項さえ求められれば、未来を予測する事は、比較的容易なのですね。
ですから、「漸化式から一般項を求める」事は、非常に重要になります。
この「漸化式から一般項を求める」事を「漸化式を解く」と言います。
このハイパーテキストでは、この「漸化式」を解く方法を、説明していきます。
この操作は主に８種類に分類できる、単純な式操作でできます。
では、まずその操作を学ぶ時に必要な知識を説明して、次にその単純操作を学んでみましょう。