アルキメデス、区分求積法




積分が誕生する以前、なめらかな曲線でできた図形の面積や体積を求める方法を、区分求積法と言いました。
積分とは違い、図形のタイプごとに巧妙な手法を使って求める方法です。

古代ギリシャ時代、アルキメデス(287-212 B.C.)は、「放物線の面積の面積の4/3に等しい」ことを証明しました。

証明方法は、点及びで放物線に接する直線を引き、2直線の交点をとする。辺と平行な放物線の接線があり、その放物線と接線の交点をとする。 辺を延長し、辺との交点をとする。このとき、点は辺の中点になる。 したがって、の面積

次に、点で放物線に接する直線を引き、2直線の交点をとする。辺と平行な放物線の接線があり、その放物線と接線の交点をとする。 辺を延長し、辺との交点をとする。

の面積をとすると、の面積

側の新たな三角形も加えて、になる。
これを限りなく続けることにする。 ただし、いくらやっても、を覆い尽くすことはできない。
アルキメデスは、次のように考えた。




は任意だから以外にありえない。


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