バロー / 微積分






バロー(1630-1677)は、1669年に「光学講義」・1670年に「幾何学講義」を出版し、光学・数学において業績を残しました。「幾何学講義」には、接線法と求積法の演算が逆であることの説明がありました。

[接線の定義]

直線上に曲線と共有する点が一つあり、その点に十分近い直線上のすべての点が、曲線と同じ側にある。

[接線を求める]

曲線の点で接線を引き、直線との交点をとする。直線の長さを求める。
は無限に小さいとする。と平行となるよう引く。と平行となるよう引く。
、とする。



が0に近づけば、点の位置を求めることができる。
このときの計算方法は、次の規則に従う。
(1)またはの巾(べき)、およびその積を含む項を省く。
(2)またはを含まない項を省く。
(3)を代入する。

(例)
に接線を引く。




[面積を求める]

から遠ざかる曲線(関数)がある。
(注)今の座標系とは違うので注意してください。
      関数が軸の下にあるからマイナス、ということではありません。
次元を調整するために、定数を導入する。
以下のような条件を満たす曲線を描く。
の面積
の面積
の面積
次に、の面積=となるような点上にとる。


この条件より、直線は点で接線になる。(証明略)

とおくと、
の面積  -------- (1)
接線の性質より、


現代の表記で、
  ----------------- (2)
になる。
(1)、(2)より、接線・面積を求める演算が互いに逆であることがわかる。


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