フェルマー/解析幾何学





フェルマー(1601-1665)の職業は、弁護士のちに議員でしたので、専門の数学者ではありませんでした。それでも、数論における成果は大きなものがあり、特にフェルマーの大定理は有名です。他にも数学の基礎となる発見がありました。

[座標]

座標の発明者はフェルマーでした。しかし、座標軸となるものが1本あるだけでしたので、単軸の解析学と言ってもいいです。なお、座標という言葉はライプニッツが作ったものだし、直行座標軸は19世紀になってから広く使われ始めました。
今現在、直行座標は別名デカルト座標と言います。デカルトが「方法序説」を出版し、その中で座標を記述しましたが、これが世界で最初だったことが影響したものと思います。

[微分]

フェルマーは論文「極大と極小を求める方法」で、多項式の曲線の極大値・極小値を求める方法を説明しました。

ある点で極値とすると、の値とその近く点におけるの値を比較した場合、異なっているであろうが、その差はほとんど気がつかないほどであろう。

とおき、計算結果をで割り、とおいた。
こうして点およびの値を求めることができる。

フェルマーは接線を求める方法も発見しました。

での接線を求める。
さきほどと同様、点が曲線上及び接線上にあるとみなす。
は相似とみなされ、



分母・分子をで割り、とおくことにより、を求めることができる。
この方法は、「極大と極小を求める方法」に似ている。

デカルトは、1638年にこの方法を伝え聞きましたが、「この方法は正しくない」 として、評価しませんでした。

[積分]

フェルマーはの接線を求めた他に、曲線の下側の面積も求めました。
の区間を、1に十分近いで、で細分化する。
各点より、曲線に対して縦線を引き、下側の面積を近似させる。
フェルマーは「積分」のことを、「方形化」と言いました。

長方形の面積の和



、とすると、
面積
この関係は、が有理数の場合も成り立つことが示せる。
が負数の場合も同様な方法で計算しましたが、の場合だけ成功しませんでした。


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