ロピタル/無限小解析



現代の数学において、ロピタルの名前は「ロピタルの定理」

で有名です。

ここでは、ロピタルの当時の功績を説明します。
ライプニッツの「微分算の論文」が公表された後、この解説書となるようなロピタルの「無限小の解析」が出版されました。 ライプニッツの書は「新しい方法」を広めるためには役にはたちませんでしたが、ロピタルの書は論理的に洗練されたものであり、18世紀の解析学の教育的な書となりました。 ロピタルの論法は明晰であり、この当時のフランス数学らしさを示しています。積分の書の出版計画もあったようですが出版されませんでした。 現代の数学用語と比較すると、まだ「微分」「積分」という言葉もなく、「関数」のことは「曲線」と表現されています。 なお、この書はライプニッツが単独で書いたものではなく、ジャン・ベルヌイから学んだことを出版したようです。 当時、ベルヌイ自身が出版することはなかったようで、ロピタルの書が有名になることにより、ベルヌイはロピタルの剽窃行為を非難しました。

「無限小解析」は10部構成になっています。
(1) 微分算の諸規則
(2) 接線問題
(3) 極大極小
(4) 変曲点・尖店
(5) 伸開線
(6) 光の反射による焦点
(7) 光の屈折による焦点
(8) 無限個の与えられた曲線に接する曲線を求めること
(9) 諸法則を応用する問題
(10)幾何学的曲線についての「デカルト−フッデの方法」の拡張

(1)の内容を抜粋します。
連続的に増加または減少する量を「変量」といい、変化しない量を「定量」という。変量の無限小の部分を「差」という。
上の任意の曲線に縦軸を引く。 を無限に近い縦線とする。 を中心とし半径の円弧との交点をとする。 の差、の差、 の差、を弧の差、 を面分の差、面積を直線と弧が囲む面積の差という。 と表し、 差については、と表す。

を変量、を定量とする。
1 
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3 
4 
1〜4の証明も記載されています。そして「ロピタルの定理」は、(9)部の中に記載されています。


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