ニュートン/微積分の発見



ニュートンは万有引力の発見者、プリンキピアの著作者として特に有名です。ここでは、微積分についてのみ説明します。
ニュートンは、デカルト・ケプラー・ヴィエート・ウォリス・ガリレオ・フェルマーたちの成果にも精通していました。一般関数の接線・面積を求めることが、関数を無限級数表示し各項の演算方法を比較することにより微積分が逆演算ということ、この逆演算という基本的な性質がすべての関数に適用できることを証明したことです。

[微分]
ニュートンは、微分を非常に短い時間間隔での増加量と考え、体系的な定式化を行いました。
の短い時間内の増加量をとし、 その比の傾きを表すことになる。
たとえば、曲線の傾きは、を2項定理で展開し、 展開結果をで割り、の残る項を無視すれば、


[積分]
ウォリスの補間法を使い、

同様に、の下側の面積を、補間法を使い求めると、

この級数の各項を比較することにより、それぞれ積分して得られた結果ではないかと気付きました。
一般関数の級数の1つの項を対象に説明する。下側の面積を、

とする。
微小増加分をとし、新しい座標での増加後の面積は、

2項定理で展開し、展開結果をで割り、の残る項を無視すれば、

となる。
逆に、曲線がであれば、面積は、

となる。


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