ロベルヴァール/無限小の幾何学






ロベルヴァール(1602-1675)は、代数、幾何学、力学、天文学を研究しました。微積分に関係することでは、当時流行していたサイクロイドを研究しました。サイクロイドとは、円が直線上を転がった場合の円周上の点の軌跡のことです。

[接線]

の動きは平行運動と回転運動により決まる。平行運動の成分を、回転運動の成分をとして描かれる。それぞれの大きさは同じなので、角の2等分線がサイクロイドの接線になる。

[面積]

ロベルヴァールは、サイクロイドと直線で囲まれた領域の面積を不可分法で求めました。

最初に、とする。となる。
半円、線分等分し、とする。

から水平に線を引き、との交点をからの垂直な線との交点をとする。
線分の長さでとなる。の軌跡は曲線になる。
の軌跡を考察する。円が転がって点に進むと、点は点の位置になる。点から左にと同じ長さになるような点をとる。この点 は、円が点で接するときの点の位置として定義される。の軌跡はサイクロイドになる。

曲線は、長方形を等分に分けるので、
において、の長さとの長さが等しいので、不可分であるから、

したがって、


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