トリチェリ/無限小の幾何学






トリチェリ(1608-1647)は、数学・物理学・光学・力学・弾道学・気象学で貢献しました。その中で、水銀を使って、人類史上初めて真空を作った「トリチェリの実験」が特に有名です。
しかし、ここでは数学を中心に述べたいと思います。

トリチェリの考え方の基本は不可分法でした。そして、いくつかの曲線や曲面に応用できるよう改良しました。

[円の面積]


半径の円の円周を直線にしたものをとする。半径上の任意の点において、半径を、中心をとする円を描く。点を通り、に平行な直線を引く。
三角形は相似だから、線分の長さは半径の円周の長さに等しい。
不可分な円の組は不可分な三角形の組に対応し、円の面積は三角形の面積に等しい。
つまり、

[とがった双曲面体]

無限に広がった立体の体積の計算です。 現代の言葉でいうと、双曲線の、軸を中心とする回転体の体積のことです。
式にすると、になります。

図でもわかるように、無限にまで広がっている図形ですが、それが有限の体積を持つということが、当時としては初めての発見でした。
トリチェリは、この立体の不可分量が、一辺がのような円柱の表面でできていることを示した。
円柱の表面積は、円柱の底面の直径の長さが、高さとする。
円柱の中の直径の円の面積が、円柱の表面積に等しい。したがって、とがった双曲面体と円柱の不可分な面積が等しい。
とがった双曲面体と円柱 の体積が等しい。

「その他の研究」

・双曲線の回転体の体積の研究
・対数らせんの長さの研究
・双曲線と放物線の求積の研究
・高次のらせんと対数曲線の研究


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