身近な2次関数




[数学での話]

最初に、Y=X2 という関数(放物線)のグラフを描きます。放物線の線の性質を鏡とします。放物線の真上から光ががきて、放物線で反射したとします。

最初の光の方程式は、X=a になります。
反射後の光の方程式は、Y=(4a2-1)/(4a)X+1/4 になります。

今回使った求め方は、
1 Y=X2、で X=a における接線の方程式を求める。
2 接線と垂直な線(法線)の方程式を求める。
3 法線と直線X=aとの角度をから、Tan の倍角の公式を使って、反射後の方程式を求める。

さて、反射後の光の方程式で、X=0 とすると Y=1/4 になるため、a が 0 以外のどのような値であっても ( 0 1/4 ) の点を通ります。a=0 ならば、Y軸上を真上からきてそのままY軸上に反射します。そして逆に、仮に1点 ( 0 1/4 ) で光が出て放物線で反射したすれば、理屈だけで考えると真上に進みます。

[応用例]

上記放物線をY軸を中心に回転させると、大きなおわんのような物が出来上がります。このおわんの例として、
・電波を受信するパラボナアンテナ
・反射望遠鏡の鏡
・ロケットの噴射口
・懐中電灯の電球の周囲の曲面
などがあります。
ただし、現実の製造技術から考えて、反射望遠鏡の鏡などは、球になっているかもしれません。実際に文献等の調査はしませんでした。あいまいで申し訳ありません。


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