εδ法(エプシロン・デルタ法)




XY平面上で、関数Y=F(X)があって、Xでの微分係数は、

で定義されます。

さて、この式の「h→0」とは、「hを0に近づける、ただしh=0とおいてはいけない」という意味です。
ここで、|h|=1/n(nは自然数)、とおきます。
「h→0」は、「n→∞」にすることと同値です。

「n→∞」についてです。「自然数は無限集合」と頭で理解できますが、「自然数をすべて列挙しなさい」ということは現実的に不可能です。つまり、「n→∞」は哲学的な解釈です。同様に「h→0」についても同じです。

そこで、数学的な厳密さが要請されて、「無限」という概念を使わないεδ法の登場です。
εδ法では、

と記述し、読み方は、
「任意のεに対し、あるδが存在し、|h|<δならば、|・・・|<ε」です。

次に、εδ法の意味を説明します。簡単にするため、「関数F(X)が連続である」という意味の

の場合で説明します。
図にすると、下記のようになります。

「任意のεに対し」の「ε」とは、ε=600でもよいし、ε=2でもいいのです。通常は、ε=0.0013とかε=10−23のような微小な値を意味します。「あるδが存在し」とは、「|・・・|<ε」を満たすような「X」の範囲(X−h X+h)があって、hは|h|<δを満たす、ということです。

たとえば、下図のように点Xで不連続ならば、

Xの近く(近傍)で、十分に小さいεに対し、「X」の範囲(X−h X+h)で、|F(X)−F(X+h)|<εとなるようなXは存在しないので、δを定義することはできません。


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