微積分の種類




大学の数学で、新たに出てくる微積分について説明いたします。微積分を説明するのであれば、関数の厳密な条件が必要なのですが、ここでは高校生でもわかるように「なめらかな関数」とだけにしておきます。それから、説明は「微積分の種類」だけとし、実際の計算方法は省略させてください。

[偏微分]

2変数関数、Z=F(X Y)は3次元の空間で曲面を描きます。これをXやYで微分することを、「偏微分」と言い、

と記述し、∂xは、ラウンドディーXと読みます。
当然、微分方程式のように「偏微分方程式」もあります。

[陰関数]

0=F(X Y)という関係がある場合、Y=ψ(X)という関数ψが存在し、ψのことを「陰関数」と言います。そして、

という式が成り立ちます。

[重積分]

Z=F(X Y)を、XY平面上の領域Dで積分することを、「重積分」と言い、
DF(X Y)dxdy
と記述します。
領域Dとは、長方形の形や、円、三角形、Y=F(X)とY=G(X)(a≦X≦b)の2つの関数で囲まれた領域等、さまざまです。

たとえば例として、
Dをx2+y2≦a2、x≧0、y≧0、とし、
Dtan-1(y/x)dxdy

の線で囲まれた領域の体積を示します。

[線積分]

3次元の空間で曲面Z=F(X Y)を、XY平面上のなめらかな曲線C:Y=φ(X)、に沿って積分することを線積分と言い、
CF(X Y)dx
と記述します。図にすると下記の領域の面積を求めています。

[複素数での積分]

W=F(Z)を複素数Zから複素数Wへの関数とします。複素数での積分は線積分と似ていて、Z平面上で曲線Cを想定し、曲線上でF(Z)を積分します。
  CF(Z)dz
と記述します。
実数での積分と比較して、実数とは違った性質が出現します。

[ルベーグ積分]

Y=F(X)のXを集合という解釈で積分することです。[複素数での積分]まではリーマン積分で、微分可能という条件が必要ですが、[ルベーグ積分]では微分という概念を使わずに積分を定義します。
たとえば確率を厳密に扱う場合、[なめらかな]という扱いはできないので、ルベーグ積分を使います。


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