2次元・3次元・4次元、そして無限次元へ

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平面は2次元、縦横高さのある空間は3次元です。数学科の3年頃には、「無限次元空間」という言葉が出てきます。そこで、この言葉を説明いたします。

[フーリエ級数]

f(x)は区間(−π、π)で定義された関数とした場合、f(x)は以下のように記述できる。

f(x)=a0 + Σ(anCos(nx) + bnSin(nx))
(注)Σの範囲はn=1から∞まで

なお
n=(1/π)∫f(x)Cos(nx)dx
n=(1/π)∫f(x)Sin(nx)dx
(注)積分の範囲は−πからπまで

[物理・工学系]

フーリエ変換・フーリエ積分を使って、さまざまな現象を数学的に解きあかします。波動・熱伝導・・等、新たな解析可能な分野が増えます。
しかし、「フーリエ変換は正しい」という仮定から出発しています。

[数学科]

フーリエ変換・フーリエ積分が正しいかどうかが議論になります。そして、正しいと評価し、かつ他にチェビシェフ多項式・ルジャンドル多項式・エルミート多項式・・・、もあわせて、総合的に議論します。そしてその議論の中に、「無限次元空間」という言葉が出てきます。

フーリエ変換が正しいという証明は、ご自分で調べてください。私の持っている文献にはありませんが、学生時代にどこかで見た憶えがあります。

「無限次元空間」

∫f(x)Cos(nx)dx、∫f(x)Sin(nx)dx、という式に着目します。
m、nを自然数として、
∫Sin(mx)Sin(nx)dx=∫Cos(mx)Cos(nx)dx
=0(m≠n)
=π(m=n)
∫Sin(mx)Cos(nx)dx=0
となります。

υ、φ、をxの関数として、
(υ、φ)=(1/π)∫υ(x)φ(x)dx
と表現します。そうすると、
m≠nならば、(Sin(mx)、Sin(nx))=0
(Cos(mx)、Cos(nx))=0
m=nならば、(Sin(mx)、Sin(nx))=1
(Cos(mx)、Cos(nx))=1
m、nがどのような自然数であっても、(Cos(mx)、Sin(nx))=0
になります。

この(υ、φ)というものは、高校数学に出てくる「内積」とまったく同じ性質があるので、(υ、φ)を関数の集合(別名:関数空間)の「内積」と扱うことができます。
m、nは自然数で無限個存在しますので、関数空間は「無限次元空間」となります。



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