一筆書き




[一筆書きのルール]

一筆書きとは、紙に描かれた図で、ある1点にペンを置いて、ペンを紙からはなさずにすべての線をなぞることです。かつ、1回なぞった線の上を、再度なぞってはいけません。
たとえば下図の場合、

一筆書きするときは、

のようになります。

[世界で最初の一筆書き]

最初に、詳しい本を持っていないので、年代はわかりません。場所はヨーロッパだったと思います。
川の中央に2つの島があって、島と島、そして陸地とが橋で結ばれていました。その橋をすべて渡りなさい、ただし、1回渡った橋はもう渡ってはいけない、という問題でした。そして、この問題を置き換えると、下図が一筆書きできるかどうか、という問題に帰着できました。

なお、この問題は結果的に不可能でした。

[一筆書きができるかどうかの判定方法]

辺の端が集まる点において、辺の数を数えます。これをすべての点で数えます。
(1)すべての点で偶数の場合、一筆書きをどこから始めてもできます。
(2)奇数となる点が2つの場合、どちらかの点から始めると、一筆書きはできます。
(3)奇数となる点が4つ以上の場合、一筆書きはできません。

たとえば、上図の各点で辺を数えると、

のようになり、奇数の点が4つありますから、一筆書きはできません。

[原理]

各点で考えます。一筆書きの途中であれば、必ず「点へ向かう」と「点から遠ざかる」の2本の辺が存在します。したがって、すべての点で偶数であれば、一筆書きはできます。奇数の点があれば、そこを開始の点とすればいいのです。ただし、奇数の点が4つ以上であれば、奇数の点から始めても「点へ向かう」辺が多すぎるので、一筆書きはできません。

(注)奇数の点が、1つとか3つなどように、奇数個はありえません。


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