世界最古かもしれない、三角関数の和と積の関係





16世紀のヨーロッパ、まだ小数点も発達していない時代です。ヴィエート(1540-1603)は三角法を解析的に研究しました。




                
                
                
                
この式で、 とおくと、
、となる。

この後この式は、ヨーロッパで、天文計算において、乗算を簡略化する方法として広く使われるようになりました。

たとえば、を10 000とします。そして、を1から10 000まで変えたときの角度の表、を1から10 000まで変えたときの角度の表を用意します。角度は60分法(例:98°25′40″)を使ったはずですが、ここでは小数点を含む60分法(例:98°.427777)にします。当時のヨーロッパでは12桁や15桁の表がありました。

たとえば、を計算してみます。
表から、が4852となるような角度を、が6235となるような角度を探します。
と計算します。
表からを探します。なければ近い値を使います。
で、の値がでます。

この後すぐに、ネーピア(1550-1617)ブリッグス(1561-1630)により 乗算・除算に対応可能な常用対数が発明されて、この方法は使われなくなりました。

対応表
sin 角度 cos 角度
1 0.005729578 1 89.99427042
2 0.011459156 2 89.98854084
3 0.017188734 3 89.98281127
4 0.022918312 4 89.97708169
5 0.028647891 5 89.97135211
6 0.03437747 6 89.96562253
7 0.040107049 7 89.95989295
8 0.045836628 8 89.95416337
9 0.051566209 9 89.94843379
10 0.057295789 10 89.94270421
11 0.06302537 11 89.93697463
12 0.068754952 12 89.93124505
13 0.074484534 13 89.92551547
14 0.080214118 14 89.91978588
4852 29.02557669
6235 51.42782406
9990 87.43744127 9990 2.562558733
9991 87.5689636 9991 2.431036405
9992 87.708016 9992 2.291983997
9993 87.85606316 9993 2.143936842
9994 88.01511672 9994 1.984883276
9995 88.18807286 9995 1.811927138
9996 88.37937661 9996 1.620623393
9997 88.59651067 9997 1.403489331
9998 88.85406531 9998 1.14593469
9999 89.18970856 9999 0.810291437

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