定規とコンパスのみで正5角形を作る





直線を一本ひきます。これが正5角形の辺になります。

直線の両端(A・B)から同じ半径の描き、

直線ABの中点Cを決め、垂線をひきます。

なお、垂線の上の部分のみを利用します。

直線ABの長さをコンパスで測り、垂線において、Cから同じ長さの点を決めます。これをDとします。

点Aと点Dを通る直線をひきます。

直線ACの長さをコンパスで測り、上記直線において、Dから同じ長さの点を決めます。これをEとします。

コンパスの針をAにおいて、Eを半径とする円を描きます。垂線との交点をFとします。

直線ABの長さをコンパスで測り、その長さを半径とし、点A B Fを中心として円を描きます。

それぞれの交点からA B Fへ直線をひくと正5角形になります。

これを座標を使って表示します。
点Aの座標を、点Cの座標をとすると、点Fの座標はになります。
つまり点Fは、有理数及び有理数の平方根の加減乗除で表せる点になっています。

[その他の正多角形]

正5角形の他に、正17角形・正257角形も定規とコンパスのみで作ることができます。
正17角形の作り方は、日経サイエンス社のサイエンス1977年9月号96ページ〜に掲載されています。
正257角形の作り方はわかりません。

一般的に、nを自然数として、
P=2n+1
が素数ならば、定規とコンパスのみで正P角形を作ることができます。

証明は、大学で数学を専攻し群論が理解できれば、わかると思います。
ちなみに私の場合は、もう忘れてしまいました。

[有名な問題]

ギリシャ時代に出た数学の問題で、定規とコンパスのみで作図しなさい、というものです。

1.(角の3等分問題)与えられた角を3等分する。
2.(立方体倍積問題)与えられた立方体の体積の2倍の体積を持つ立方体を作る。
3.(円積問題)与えられた円と等しい面積を持つ正方形を作る。

この問題はいずれも「不可能」なのです。1と2は1837年にWantzelが、3は1882年にLindemannが
証明しました。可能か不可能かを決着させるのに、長い歴史があったことを理解してください。


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