e(自然対数)が無理数であることの証明



大学1年の解析学で学ぶ証明です。高校生でも理解できると思いますので、掲載いたします。

X = 1 + X + X2/2 + X3/3! + X4/4! + ・・・・
を使って証明します。

= p/q (p qは互いに素な自然数)と仮定する。

0 < p/q - (2 + 1/2 + 1/3! + ・・・ + 1/n!)
= 1/(n+1)! + 1/(n+2)! + 1/(n+3)! + ・・・・
< 1/(n+1)! + 1/{(n+1)!*(n+1)} + 1/{(n+1)!*(n+1)2} + ・・・・
= 1/(n+1)!* {1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)2 + ・・・・}
= 1/(n * n!)

n * n! を掛けて
0 < n * n!* p/q - n * n!* (2 + 1/2 + 1/3! + ・・・ 1/n!) < 1

この式から、がどのような値であっても、n * n!/qが整数にならないため、を自然数と仮定したことに矛盾する。

は無理数である。



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