2016年7月
複素空間の考察の概要




ハミルトンは複素数の次元を増やし、4元数間の関数を考えた。


この考えとは違い、2つの複素平面から2つの複素平面への関数があり、その関数の表現方法により複素数の次元を増やす。




関数の表現方法を定義


とする。 による演算が定義できる。特にによりが成り立つ。 も成り立つ。

と表現し、の演算を定義する。 またはとなる条件を満たさなければ、四則演算・交換法則・結合法則・分配法則すべてが成り立つ。

ならば、 と表現できる。
絶対値が と定義できて、を満たす が存在する。

またはとなる条件を満たさなければ、と表現できる。
絶対値がと定義できて、を満たす が存在する。
逆により、またはならばとなり、乗法・除法が成り立たなくなるのがわかる。

双曲線関数の性質


より、と表記する。
と表記できる。

複素微分
が、関数によりに対応するとき、とする。 またはが成り立たない点とすると、微分が定義できる。点の各要素の関数で表現できるとする。つまり、 とする。

が成り立つ。Cauchy-Riemannの関係式の拡張になる。


またはが成り立たなければ、逆関数が存在し、
とおくと、


平面上で、流体の流れに障害物となる円がある場合、
(大学演習複素解析より引用)


下記の計算に間違いあり。
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複素空間の計算方法を使って、空間上に障害物の球体
があった場合の方程式が作れる。


        
         

図でもわかるように、なので、


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