iπ =−1の解釈


[はじめに]

 複素関数論は十分に発展した学問ですから、この学問を定義の段階から否定するつもりはありません。ただ、こんな解釈もあるのだなあ、と見ていただいて結構です。数学から離れて約20年もたちましたので、間違いもあるかと思います。

[定義]

複素平面上で、原点を中心とする単位円を想定します。
f(x) = {偏角xのときの単位円上の点の座標}、と関数を定義します。

f(x) = Cos(x) + iSin(x)
と表現することができます。

f(x)/dx = -Sin(x) + iCos(x)
= i ( Cos(x) + iSin(X) )
= i f(x)

a を実数とし、g(x) = ax ならば、
g(x)/dx = a g(x)
となりますから、

f(x) = ix 、と表現します。
ここで注意していただきたいのは、eとは、e = 2.71・・・ という定数ではなくて、記号と解釈した方がいいと思います。

このように考えると、 =−1 とは、単位円上の偏角がπである点の座標は−1である、と解釈できます。


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