n次代数方程式の数値解析



これは、私が大学2年のときの話です。

アーベルやガロアによって、「5次以上の代数方程式の解を代数的に解くことはできない」が証明されたことは周知の事実です。 それでも私は「代数的以外であれば解くことができるかもしれない」と思い、考えたすえの1つの結論です。

n次の実係数代数方程式

を極座標に変換し、

とおく。

ならば
かつ



とおく。


が解ならば、


ところで

の2つの関数を考えた場合、は2つの曲線の交点となる。 つまり、すべての交点を捜せば、すべての解がわかるかもしれない。
捜す方法は、すべての交点のだいたいの位置をつかみ、交点に収束させれば求まるかもしれない。収束させる方法は、2次元のニュートン法を使う。
式は


になります。

評価
一部の解の数値解析では使えると思います。重根の場合、収束速度が遅く、使い物になりませんでした。

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