99年4月
∫ydx と ∫xdy との関係No.2


y=f(x)をxy平面上で定義された関数とし、閉区間[a b]で連続で有界変動であれば、
b         b
∫f(x)dx + ∫xdf(x) = bf(b) - af(a)
a         a
なお、はルベーグ積分

[証明]

Lebegue-Stielties積分を参考

[図での解釈]

下の図で、関数が閉区間[a b]で無限遠点を含まず連続であれば、関数がどうなっていてもいい、というのがわかるはずです。

[追記]

∫ydx + ∫xdy = xy という式は、 Lebegue-Stielties積分の特別な場合、と解釈できます。


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