99年8月
テーラー展開への応用


積分の関係式からテーラー展開への応用です。応用になっていないと思わ
れるでしょうが、関係式からたまたまある疑問が生まれて、ここまで来てしま
いました。
証明済みですが、証明の掲載は省略させてください。

Y = F(X) をXY平面上で定義された関数とし、テーラー展開
F(X) = A0 + A1(X - α) + A2(X - α)2 + A3(X - α)3 + A4(X - α)4 + ・・・・
とおける、と仮定する。
このとき、
F(X) = A0 + An(X - α)n + A2n(X - α)2n + A3n(X - α)3n + ・・・・
と、次数が n 飛びになる場合の F(X) の必要十分条件は?

Y = F(X) の変数の解釈を、実数 X から複素数 Z に拡張する。
Z を極形式に変換し、 Z = α + R(Cosθ + i Sinθ)とおくことにより
F(Z) = G(R θ) とする。
次数が n 飛びになる場合の F(X) の必要十分条件は、
G(R θ) が恒等的に G(R θ) = G(R θ + 2π/n) となること。

このことから、i が n の倍数でなければ、 Ai = 0 となり、
F(X) の i 次導関数で、 F(i)(α) = 0 となる。

X=αにおいて、F(i)(α)がどのような値になるか、「計算してみなけれ
ばわからない」が「関数の周期性で計算できる場合がある」となりました。
微分計数に、規則性もあったことがわかります。


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