「テーラー展開への応用」の裏話


の応用を研究し始めました。
まず式の解釈を実数から複素数に拡張してみました。
からになり、積分の関係式は、

平面上の円で、になります。
正則関数であれば、、となって意味がありません。
留数が関係するような関数であれば、何かがあるかもしれません。
留数が関係するさまざまな関数、その関数に対してのさまざまなを想定した場合のを研究しました。
研究の中で、関数にがある場合のの特殊性に着目しました。
に関することで、をテーラー展開した場合の収束半径はになります。
であれば、収束半径はになるでしょう。
の壁になにかがある、と考えました。
ここで気付きました。「極座標で考えるとテーラー展開が綺麗になる」と。
ここで「テーラー展開への応用」ができました。

次に、綺麗になったはいいが、そのような点はいくつあるだろうか、悩みました。
たとえば「1個も存在しない」・「1個だけ存在する」・「のように等間隔に無限個存在する」というのはあるが、「2個だけ存在する」・「20個だけ存在する」というのがあるかどうか、と悩みました。また、関数をどのように制限すべきか、という点でも同様に悩みました。
たまたま、3週間ほど入院することがあり、暇なので数学の本、特に関数論をながめてたら、「これは使える」という定理があったので、その定理を使い「関数の周期性について」ができました。


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