研究の裏話
2007/12/31





はじめに 前回、を微分し、そして積分することにより、

という式ができた。 さて、n回微分し、n回積分の場合はどうであろうか。

これを考察する前に、積分の記号に問題がある。
をn回微分したものをと書くが、をn回積分してとは書かない。
微分とは、接線の傾きを示す関数を求めることであり、微分による演算結果は関数になる。積分のとは、関数の区間における面積のことであり、に幾何的な意味はないから、当然も意味がない、というのが理由だと思う。


さて、積分による演算結果を関数として扱ったらどうなるであろうか。はn回積分した関数と扱えないであろうか。なお、積分定数は無視してもかまわないと 思われる。
このとき、微分の反対が積分であることから、


と記号で表現したいと思う。

式の性質





を使った式は、ローラン展開が考えられる。

とおけるかもしれない。

などのような有理形関数の場合、の係数はゼロだから、

となる。
通常の区間(曲線)での積分
なぜなんだろう?。
通常の積分とは違うようなので、局所積分とでも言ってみたい。


係数を無視して、微分は


積分は


となる。 微分の反対が積分であるが、
がつながらない。
のところで不具合を感じる。
逆に、に解析学上、もっと深い意味があるのだろうか。

ところで、微分とは接線方程式を求めること、積分とは面積方程式を求めること、接線と面積を求めることを幾何学的に綺麗に説明できないだろうか。
積分は線から面へ、そして重積分は体積へと次元が上がる。 微分は下がるのだろうか。


で、を極形式で微分した場合、はどのような動きをするだろうか。
複素関数の本を見ても、極形式と微積分の関係はないのだろうか。
歴史的に見て、微積分の定義は、ニュートン・ライプニッツによる発見から 始まった。別の定義から発展していたらどうなるだろうか。
位相解析において、微積分は作用素としての扱いになる。は作用素の特異点なのだろうか。

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