が、で極値を持つための必要条件が、

、かつ

方向、方向の接線の傾きが0。)なのは明らかだと思います。以下に、この条件を満たすものが、実際に極値を持つための更なる条件をみていきます。

 

 

 

 

 

 

 

 

 まずは、簡単のために、で極値の判定を考えます。

、かつ

が、まず必要ですね。

 極小値というのは、そのまわりが極値での接平面よりも高い点で、極大値というのは、そのまわりが極値での接平面よりも低い点です。(下の図は、極値より少しずらした点での接平面を書いています。極値での接平面は、平面に平行です。)

 

 

 

 

 

 

 

 

 よって、のまわりでテイラー展開したものからでの接平面の式を引いてそれの大小を比べます。接平面は、

より、

ですね。

 

この式が、正か負かを見れば良いのです。3次以下の項は、2次の項に比べてきわめて小さいので無視します。

 ここで、高校の復習です。において、かつならばは常に正。(下に凸で、実数解を持たない。グラフが軸と交わらない。)かつならばは常に負。(上に凸で、実数解を持たない。)ならば、グラフは軸と交わりは正負両方取り得る。のとき、グラフは軸と接します。

 

 

 

 

 

 

 

 

 同じように考えていきましょう。

として、

1) かつならば、常に正。つまり、。よって、極小値になります。

2) かつならば、常に負。つまり、。よって、極大値になります。

3) ならば、の部分との部分があるので極値を取りません。

4) のときは、極値を取るときも取らないときもあります。一般に判定は容易ではありません。

 

 

 一般の場合が、で極値を持つ条件も同じようなものです。

 

このとき、と変数変換します。となります。(座標軸を横にずらすだけなので、微小変化量の割合は変わらない。1回、2回微分、接線の傾きなどは、変わらない。)

 

 

 

 

 

 

 

より、

として、先ほどの条件を用いればよい事がわかります。

 

 

 

 

 

 

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