『高校範囲の復習といえば、置換積分も意味も分からず計算しました。』

「置換積分を、イメージを持って理解することは大切です。重積分の変数変換を理解する上での基礎にもなります。」

 例として、で変数変換してみましょう。

 変数変換というのは、要するに物差しの目盛りを替えることです。

の物差しは、の物差しに比べて目が2倍に広がっていますね。2つの物差しの関係がわかっていれば、どちらの物差しを使っても構いません。

 より、になりますね。それぞれの物差しでの、グラフを描いてみましょう。

   

範囲が、からに替わったのはいいですね。それから、という関係式からという関係式になっていますね。最後に、ここが大事なのですが、微小区間になっています。目盛りの幅が2倍になったので、各微少区間を2倍して計算しないといけません。

 もう少し詳しく解説しましょう。被積分関数は、とします。はじめにの物差しで考えます。微少区間をとり、そこでの高さが、。よって面積は、。それを足し合わせて、

 これと同じことをの物差しで考えます。以前の区分求積方の話しで、区間個に分割して、それをとすると言ったのを思い出してください。の物差しでです。これをの物差しで測るとになります。(の物差しでのは、の物差しでのとなるようにの物差しで測ると2倍になります。)これが、になるので、になります。つまり、微小区間として同じものを取るので、の物差しでは、区間個に分割していることになります。被積分関数と、積分区間もの物差しで測定して、微少区間での面積は、。それを足し合わせて、

の物差しで面積が出てきていることに注意)

になります。

 

 

 

 

 

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