「こんにちは。そろそろ来るころだと思っていたわ。重積分について解説してほしいのかしら。」

『その通り!よろしくです。』

 

 積分が面積を表したように、重積分(2重積分)は、体積を表します。下図の長方形領域、での2変数関数の重積分を考えてみましょう。この場合も区分求積法を用いて説明できます。

 

 下図の微少長方形領域とで囲まれる部分の直方体の体積は、

になります。積分のときに、長方形を考えればそれで足りたように直方体を考えればそれで足ります。これを長方形領域全体に渡って足し合わせて極限をとれば全体の体積が出てきます。(の1次、

の1次で表される部分だけ考えればよい。)

これを、、と書き表します。ただし平面での領域です。

 

 重積分が累次積分で表され、のどちらから積分しても良いこともすぐに示せます。

 

について先に積分すると、

 

 

 

(↑↓以前に出てきた、区分求積法が定積分に一致するという定理を用いています。)

 

 

 

について先に積分すると、

 

 

 

 

よって、

です。

 

 

 

 

 

 

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