任意のベクトルで考えても良いのですが、分かりやすくするために次のようにします。

x-y-z3次元空間内に、空気でも水でも良いので流体が流れていると考えてください。

この流体の密度を、速度をとします。共に、場所の関数になっていますね。場所によって、密度や速度は変わってきます。

そして、2つを掛けて、なるものを定義します。

これを「流量」と名づけます。

単位時間あたりに単位面積を通過する質量を意味します。

ここで、微小直方体領域で単位時間に流れ出す質量を考えます。

左下の点をとして、それから一辺の長さをとします。

先ずは、図の色が付いた面での流出質量を考えます。

は、方向への射影ですよ。)

(単位時間に)左側から入ってくる質量は、右から出ていく質量は、

ですね。

よって、この領域から出て行く質量は、

になります。(途中で偏微分の定義を使っていますよ。)

上下の面や、手前奥の面でも同じことを考えます。

すると、この領域から(単位時間に)出ていくトータルの質量は、全部足して、

になります。

つまり、「発散」というのは単位体積あたりの湧き出し量になります。

今の場合では、単位体積当たり単位時間あたりに湧き出す質量です。

 

 

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