ガウスの発散定理。↓これです。

(∂Vは、閉領域Vの表面を表す。)

 

まあ、次元が合っているのはすぐにわかりますね。

左辺は、×(1/長さ)×(長さ)^3で、左辺は、×(長さ)^2ですからね。

 

「発散」のところを理解できていればガウスの定理の説明は、半分終わったようなものです。

少なくとも、微小直方体領域で単位時間に流れ出す量は、全部の面からの流出量に相当していましたね。

(流入の場合には、マイナスをつける。つまり、dSの符号は、領域の外に向かう方向を正に取る。)

"この微小領域と隣りの微小領域をくっつけたもの"での流出量を考えてみましょう。

それぞれ、

 

が、成り立ちます。

これを足し合わせます。

図で色をつけた面では、V1からの流出がV2への流入になっています。つまり、この部分は足し合わせるとゼロになります。

結局、面積分に関しては、合わせた領域のもっとも外側の表面だけを考えれば良いことになります。

これと同じことを繰り返して、一般の領域で考えても同じことです。

(図は、2次元になっています。)

これの極限を取って、

になります。

 

 

 

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