のときに、合成関数の微分を定義にしたがって求めてみましょう。

 

が、定義により成立しています。

のとき、より

↑但し、のときです。

のときも、で成立します。

よって、

 これは、分数の約分みたいな式ですね。実際、約分みたいな感覚で捉えてもらって構いません。それ何故かを説明していきます。

 微分は、グラフでは接線の傾きという意味がありました。微分に関してもう一つ身につけて欲しい捉え方があります。それは、瞬間の「変化率」(増加率または、減少率)を表すということです。例えば、毎秒()の水が水槽に注がれているとすると、水槽の水量をx()、時間をt(s)として水槽の水量の増加率をと表すことが出来ます。

 更に、水槽の面積が2()なら、水槽の水位yの水量xに対する増加率は、になります。

 すると、水槽の水位の時間に対する増加率は、になりますね。水位が、毎秒3()ずつ上がっていくのは明らかですね。

 この場合は増加率が常に一定だから、この関係が成り立ったのだと反論されるかもしれませんが、微分は瞬間を考えています。そのときには、その瞬間では、変化率は一定と考えられるので、上の例のように、変化率の割合と考えても差し障りありません。

 今後、合繊関数の微分や分数の約分みたいな式はどんどん出てきます。そのときに、わざわざこの式が正しいのかと考えていたのでは計算が進みません。約分できるものとしてどんどん計算していけるようになりましょ。なお、この技が使えるのは、全微分の1回微分だけです。2回微分や偏微分には使えないので注意してください。

『分りました。ということは、逆関数の微分の定理も、水量と時間の関係を逆に考えて、水量が1()増えるのに(s)かかる。つまり、と考えれば良いのですね。』

「その通りです。なかなか物分りが良いですね。」

 

 

 

 

 

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