えーと、とりあえず、簡単の為に2次元平面で考えます。

2次元xy平面上に、で決まる、ある物理量が存在するとします。

それは、温度が場所によって決まっていると考えても良いし、鉄板の面密度が場所によって決まっていると考えても良いです。3次元空間ならば、物質の密度や、霧の濃さを考えるのが良いでしょう。

しかし、ここでは、高さを考えるのが一番分かりやすいでしょう。場所によって、高さ、が違うと考えるのです。

 さて、場所によって、が決まるので、その勾配も場所によって一意に決まります。

 それから、から、に移動したときの、の変化量を考えます。

全微分の公式より、

が成り立ちます。(としています。)

は、任意の方向に向けることが出来ます。

 ここで、が最大となるような、を考えます。

より、(は、が成す角です。)

の時に、が最大になりますね。

つまり、が同じ向きのときに、は最大になるのです。

は高さがもっとも急に増加する向きに向いているといえます。

 ちなみに、の時には、。このとき、です。

このとき、の等高線にが沿っています。

つまり、は等高線に垂直だといえます。

 それから、が反対向きのときに、は最小になります。

 さて、もう一度、の場合に戻りましょう。このとき、

です。

これは、一次元の時の、に相当します。

の変化量に傾きを掛けるとの変化量が出るのでしたね。

は、この場合、傾きに相当します。

つまり、は、の最大増加の向きを向いているベクトルであり、等高線に垂直であり、は、が最大増加の時の傾きをあらわす。ということです。

 

 

戻る