ここでは、グラフにするとテイラー展開がどんな意味を持っているのかを考えます。最初に、テイラー展開の式をこま切れにして各項ごとに見ていきましょう。

 

 0次の項は、における値です。

 1次の項は、における接線の傾きにを掛けたものをそれに足しています。ここまでを1次近似と呼びます。図を見たほうが分かりやすいでしょう。

 2次の項は、放物線を表しています。このときに、係数を付けておくと、2次までの項が、における値、接線の傾き、下に凸度を一致させることが出来ます。ここまでで2次近似です。

 3次の項は、3次曲線を表しています。係数を付けると、3次までの項が、における値、接線の傾き、下に凸度、3回微分係数を一致させることが出来ます。

 以下同様に、次の項は、次曲線を表します。

 

 図にするとこんな感じかな。

(右側の高さを考えるのですよ。)

 

 要するに、テイラー展開と言うのは「〜のまわりで」の「〜」におけるn階微分係数を一致させて、n次曲線を重ねていったものです。

 これでテイラー展開の説明はおしまいです。あとは、教科書の練習問題や、演習の授業の問題に実際に当たって、いろいろな関数のテイラー展開を計算してみてください。のテイラー展開を微分すると、のテイラー展開が出てくるあたりにテイラー展開の項別微分が出来るという美しさが感じられることと思います。

 

 

 

 

 

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