『ところで先生。区分旧跡法で面積を求めるときに、この部分(右図の黒い部分)は、どこに行ったのだ?にすると、数が増えていって無視できなくなるような…』

「なかなか良い質問ですね。確かに数は増えていくけれど、だんだん小さくなっていきますよね。」

『それはそうですね。数が増えるということよりも小さくなるってことの方が大きく影響しているのかな?』

「それでは、最初の例で黒い部分も含めて、改めて考えてみましょう。」

 で囲まれる面積は、実はこのように表されます。

で確かめられます。)

これを元に、区分求積法を行ってみましょう。

 

 

 

 

 つまり、の2次以上で表される部分の面積はの課程で消えてしまう。結局、積分をするときにはの1次の項だけを考えればよい。長方形部分の面積だけを考えて極限をとればそれで良いということが分かります。ちょっと不思議な気分ですね。この性質は積分を理解するうえで大切なものです。重積分をするときに微少領域として、長方形や直方体などを考えるのはなぜかという問に対する答えになります。

 の対比を考えて式で書くと、

(↑2項目、3項目の記号は私が勝手に導入したものです。)

 こんなところでしょうか。

 

 

 

 

 

 

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