『先生。こんにちは。』

「あら,こんにちは。」

『今日は、積分について教えて欲しいです。』

「積分ね。区分求積法はマスターしているかしら?」

『区分求積法?うーん。そんなことをやったような気もするな。定積分を計算すれば面積は出てくるし、気に掛けてなかったけれど。何か?』

「あのね。積分を理解するには区分求積法から入るのが一番だと思うな。それをマスターしておけば、後々、重積分や重積分の変数変換なんかを勉強するときにも直観的に理解しやすいと思うけどな。高校のカリキュラムにも、もっと取り入れてほしいわ。」

『そうなのか。じゃあ区分求積法から教えてください。』

「はい、わかりました。」

 

 区分求積法について詳しく説明した書籍がほかに見あたらないのと、高校でもあまり力を入れて教えられてないようなので、例題を多く用いて詳しく説明したいと思います。

 まず、右図の区間の面積Sを求めてみましょう。

の区間を、n個に分割します。

になります。の区間で、高さの長方形の面積はですね。それをまで足し合わせて、)の極限をとれば、面積が求まりますね。

(↑を使っています。)

 

「さあ、君もやってみましょう」

で挟まれる面積を求めてみて。」

『はい、頑張ります。』

『エーと、区間をn個に分割してと。

で。』

 

 

『はぁはぁ。これを計算すればできそうです。』

「お疲れさま。実はもうちょっと綺麗な方法があるのです。」

『ハァハァ、何ですと?』

区間の区間を、n個に分割します。すると、になります。それから、0からとるのです。つまり、とします。すると、

 

 

になります。(しかし、この方法を使うと積分区間の始点と終点が、整数か特別な有理数のときにしか使えなくなります。)

これをふまえて、一般の関数の区間での面積を求めます。

ですよ。

ここで、となるようなを考えます。

になりますね。すると、

 

 

 

(↑中抜け現象に着目)

 

 この結果は、定積分と同じですね。

のとき、の対比を頭に入れてください。

ここに、区分求積法で求めた面積が、定積分に一致するという大事な定理が出てきました。(区間に制限がつきますが、この方法を用いた方が、上記の対比が分かりやすいと思います。)

 区分求積法自体は紀元前の昔から伝わる求積法です。それが何と、微分の逆演算によって求められる。微分法を開拓したニュートン、ライプニッツはさぞかし感動したことでしょう。高校のカリキュラムだと、不定積分→定積分と教えるけど、不定積分は微分の逆演算くらいに思って、区分求積法→定積分と教えた方がいいと思います。

 

 

 

 

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