3次元空間内に、1次独立な3つのベクトルがあります。これらのベクトルを正規直交化することを考えます。正規直交化というのは、1次独立なベクトルをもとに、互いに直交し、かつ大きさが1のベクトルの組みを作り出すことです。

 まず、ベクトルから大きさが1のベクトルを作り出します。これは簡単ですね。の大きさを割れば良いのです。

 次に、を元に、新たなベクトルを作りましょう。

 ここで、図のがどうしてこうなるか分かりますか?(ちなみに括弧は内積を表しているのですよ。)

方向の正射影は、の成す角をとすると、ですよね。それに、単位ベクトルの大きさを掛けても同じことです。単位ベクトルの大きさは1なのですから。

これは、実はの内積になっていますね。

それに、大きさが1で、方向を表すベクトルを掛ければ良い訳です。

 さて、図を見ると、になっていますよね。そこで、を求めるには、から、方向の成分を引けば良いわけです。

ここまでで、直交化できました。これを更に大きさ1にすれば、正規直交化したことになるのです。

 

 更に、を元に新たなベクトルを作っていきます。

 先ほどと同じ要領で、

になっていますね。

を求めるには、から、方向の成分、を引けば良いので

大きさを1にして、

 これで、正規直交なベクトルが求まりました。

 4次元以上になると、もはや図には表せませんが、同じように、

(次の1次独立なベクトル、正規直交ベクトル)正規直交ベクトル

を引いていけば良いのです。

 

 

 

 

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