ここでは、のまわりでテイラー展開の式を求めましょう。唐突ですが、ある関数がテイラー展開できると仮定してこのように書きます。

……@

 の線形結合で書けると仮定しています。あとは係数を求めるだけです。のまわりで展開するので、においては、@の右辺と左辺を「完全に」一致させなくてはいけません。ここで完全にというのは、その地点の値だけではなく、何回微分の微分係数までも一致させるということです。

 

 まず、@にを代入します。すると、になります。

これは、における値を一致させたということです。

 次に両辺を1回微分して、を代入します。

になります。

これは、における接線の傾きを一致させたということです。

 更に、両辺を2回微分して、を代入します。

これは、における「下に凸度」を一致させたということです。

 更に更に、両辺を3回微分して、を代入し、3回微分係数も一致させます。

 さて、この辺で求まった係数を代入してみましょう。

 これで、テイラー展開の式が3次の項まで求まりました。以上の手続きを踏めば、これより大きい次数の項の係数も求まります。

 余裕のある読者は、一般の場合、のまわりのテイラー展開を求めてみてください。最初に、

としておけば計算が楽に進むでしょう。

(一般に、を通る曲線の式は、としたもので書けます)

 

 

 

 

 

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