ストークスの定理は、これです。

(∂Sは、曲面Sの境界線。)

今回も、次元は合っていますね。

 

2次元の微小領域ΔxΔyのまわりで、の左回り一周線積分を考えます。

(接線方向の単位ベクトル)方向の成分を取るのは、渦を巻くのに貢献している成分だからです。

4つの線積分を全部足し合わせると、

第1項と第3項、第2項と第4項を合わせて、

の極限をとって、

 

少なくとも、微小領域では、

であることが分かりました。

 

ガウスの定理のときと同じ横領で、一般の領域に拡張します。

まず、2つの領域をあわせて考えます。

それぞれ、

 

が、成り立ちます。

これを足し合わせるのですが、2つの領域が接している部分の線積分は、大きさが同じで向きが反対になっているので打ち消しあいます。よって、

一般の領域を考えても、内側の線積分は全部打ち消し合うので、外周の線積分しか残りません。

よって、

これの極限をとって、

になります。

 

 

 

 

戻る