全微分の公式、をまずは式で示しましょう。

(つまり、とは、それぞれ微少量だけ変化させたときの、の変化量ということです。)

 

(↑を足して引いています。技巧的かな?)

 

 

より

(↑のいずれかを固定して、あとは微分の定義と同じ。)

 

 

 

 これだけだと、イメージが湧かないと思うので、グラフにして考えましょう。

 まずは、1変数で全微分の公式に相当する式の説明からです。全微分の公式の1変数ヴァージョンは、です。

 これをグラフで見てみます。の増加量が非常に小さいときは、の増加量は1次近似になり、接線の傾きにの増加量を掛けたものになります。

 

 

 

 

 

 

さて、2変数の場合です。の地点での接平面を考えると、それぞれ微少量だけ増加させたときのの増加量は、方向の増分と、方向の増分の和で表されます。よって、となります。これが、全微分の公式のグラフ上での意味です。

 

 

 

 

 

 

 

 

3変数以上になると、もはやグラフには画けませんが、やはりそれぞれの変数が微少変化したときの関数の変化量を表します。

 

 

 ここで、全微分の公式の理解を深めるための練習問題を一つやってみましょう。

 底面が一辺の長さの正方形、高さの四角柱の体積は、ですね。いま、1から0.01増加して、2から0.01減少した場合、体積の変化量の1次近似を考えます。で表されます。

 実際に上の式を用いて計算すると、

厳密値は、

  

おおよそ近い値になっていますね。

 

 

 

 

 

 

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