ゼミの成果


ゼミの成果をまとめます。



ふぃっしゅ数 (ふぃっしゅっしゅ作 2002年)

グラハム数よりもはるかに大きい巨大数。バージョン1から4まであり、バージョン番号があがるごとに大きくなる。さらに、ふぃっしゅっしゅ氏とは別の人が手を加えたものもある。

バージョン1
バージョン2 英語 日本語
バージョン3 英語 日本語 再定義 再々定義
バージョン4初出
再定義
名無しのような物体氏バージョン
264氏バージョン

この中で、バージョン3を、ふぃっしゅっしゅ氏とは別の人が定義を書き直したものを紹介する。以下の定義で、Fがふぃっしゅ数バージョン3となる。

[1] 集合Xに対しXからXへの写像全体をEnd(X)で表す。
Nは自然数全体とし、集合T(n)を
T(0)=End(N),T(n)=End(N×T(0)×・・・×T(n-1)) (n>0)と定義する。(×は直積集合)

[2] T(k)の元s(k) (k>0)を次の様に定める。
m∈N,f∈T(0)に対して、
s(1)[m,f]:=[g(m),g]
ただし、B(0,y)=f(y),B(x+1,0)=B(x,1),B(x+1,y+1)=B(x,B(x+1,y)),g(x)=B(x,x)

m∈N,f_i∈T(i)に対して、
s(k)[m,f_0,f_1,f_2,・・・,f_{k-2},f_{k-1}]:=[n,g_0,g_1,g_2,・・・,g_{k-2},g_{k-1}]
ただし、
g_{k-1}=f_{k-1}^{f_0(m)},
g_{k-1}[m,f_0,f_1,f_2,・・・,f_{k-2}]=[n,*,g_1,g_2,・・・,g_{k-2}],
g_{k-1}^x[m,f_0,f_1,f_2,・・・,f_{k-2}]=[*,r_x,*,*,・・・,*]と置く時、g_0(x)=r_x(x)
(*はs(k)の定義には用いられない部分)

[3] T(1)の元ss(1)を次の様に決める。
ss(1)[m,f]:=[n,g]
ただし、n,gは以下で求められるものとする。
s(m+1)^{f(m)}[m,f,s(1),s(2),・・・,s(m)]=[n,g,*,*,・・・,*]

最後に[F,*,*]:=s(2)^63[3,x+1,ss(1)]と置く。



アッカーマン関数について

A(0,y) = y+1
A(x+1,0) = A(x,1)
A(x+1,y+1) = A(x,A(x+1,y))

というルールで定義されるアッカーマン関数A(x,y)は、以下のように表現することができる。

x=1のとき
A(1,n)=A(0,A(1,n-1))=A(1,n-1)+1=A(1,0)+n=A(0,1)+n
    =2+n

x=2のとき
A(2,n)=A(1,A(2,(n-1)) (1 n.b.)
=A(1,A(1,A(2,n-2))) (2 n.b.)
=A(1,A(1,A(1,A(2,n-3)))) (3 n.b.)

=A(1,A(1,…(A(2,n-(n-1))…)) (n-1 n.b.)
=A(1,A(1,…(A(2,n-n))…)) (n n.b.)
=A(1,A(1,…(A(2,0))…)) (n n.b.)
=A(1,A(1,…(A(1,1))…)) (n n.b.)
=A(1,A(1,…(A(1,3))…)) (n-1 n.b.)
=A(1,A(1,…(A(1,2+3))…)) (n-2 n.b.)
=A(1,A(1,…(A(1,2+2+3))…)) (n-3 n.b.)
=A(1,A(1,…(A(1,2+2+2+3))…)) (n-4 n.b.)
=A(1,2(n-1)+3) (0 n.b.)
=2n+3 (=2(n+1)+1)

※n.b.は関数が入れ子になっている回数

x=3のとき
 A(3,n)=A(2,A(3,(n-1)) (1 n.b.)
=A(2,A(2,A(3,(n-2))) (2 n.b.)
=A(2,A(2,A(2,A(3,n-3)))) (3 n.b.)

=A(2,A(2,…(A(3,n-(n-1))…)) (n-1 n.b.)
=A(2,A(2,…(A(3,n-n))…)) (n n.b.)
=A(2,A(2,…(A(3,0))…)) (n n.b.)
=A(2,A(2,…(A(2,1))…)) (n n.b.)
=A(2,A(2,…(A(2,2(1+1)+1))…)) (n-1 n.b.)
=A(2,A(2,…(A(2,2(2(1+1)+1+1)+1))…)) (n-2 n.b.)
=A(2,A(2,…(A(2,2(2(2(2(1+1)+1+1)+1+1)+1))…)) (n-3 n.b.)
=A(2,A(2,…(A(2,2(2(2(2・2+2)+2)+1))…)) (n-3 n.b.)
=A(2,2^(n+1)+2^n+…+2^3+2^2+1) (0 n.b.)
=A(2,2^(n+1)+2^n+…+2^3+2^2+2^2-3) (0 n.b.)
=A(2,2^(n+2)-3) (0 n.b.)
=2(2^(n+2)-3+1)+1
=2^(n+3)-3

x=4のとき
 A(4,n)=A(3,A(3,…(A(4,0))…)) (n n.b.)
=A(3,A(3,…(A(3,1))…)) (n n.b.)
=A(3,A(3,…(A(3,2^(1+3)-3))…)) (n-1 n.b.)
=A(3,A(3,…(A(3,2^(2^(1+3)-3+3)-3))…)) (n-2 n.b.)
=A(3,A(3,…(A(3,2^(2^(2^(1+3)-3+3)-3+3)-3))…)) (n-3 n.b.)
=A(3,A(3,…(A(3,2^(2^(2^(2^(2^2))))-3))…)) (n-4 n.b.)
=A(3,(2^2^2^…(n+2個)…^2^2)-3) (0 n.b.)
=(2^2^2^…(n+3個)…^2^2)-3
=2^^(n+3)-3

x=5のとき
 A(5,n)=A(4,A(4,…(A(5,0))…)) (n n.b.)
=A(4,A(4,…(A(4,1))…)) (n n.b.)
=A(4,A(4,…(A(4,2^^(1+3)-3))…)) (n-1 n.b.)
=A(4,A(4,…(A(4,2^^(2^^(1+3)-3+3)-3))…)) (n-2 n.b.)
=A(4,A(4,…(A(4,2^^(2^^(2^^(1+3)-3+3)-3+3)-3))…)) (n-3 n.b.)
=A(4,A(4,…(A(4,2^^(2^^(2^^(2^^4)))-3))…)) (n-4 n.b.)
=A(4,A(4,…(A(4,2^^(2^^(2^^(2^^2^^2)))-3))…)) (n-4 n.b.)
=A(4,(2^^2^^2^^…(n+2個)…^^2^^2)-3) (0 n.b.)
=(2^^2^^2^^…(n+3個)…^^2^^2)-3
=2^^^(n+3)-3

※ 4=2^2=2^^2=2^^^2=2^^…^^2

以下同様にして、一般にx>2のとき
A(x,y)=(2^^…(x-2個)…^^(y+3))-3
    =(2→(y+3)→(x-2))-3

s(3)[3,x+1,s(1),s(2)]>[*, 3(↑x)(↑x)(x+1), *,*]の証明

ふぃっしゅ数バージョン3の定義(再々定義記法)で、
s(3)[3,x+1,s(1),s(2)]>[*, 3(↑x)(↑x)(x+1), *,*]
が成り立つことを証明する。

ここで、関数 f,g について f>g のとき [*,f,*,*]>[*,g,*,*] と表記するものとする。
すなわち、集合の大小関係を関数の大小で定義したことになるが、これはこの
証明の中に限る便宜的な記法である。


証明の流れ

P(m,n,x)=3(↑n)(↑n)m(↑n)(x+1)(↑n)(x+1)
Q(n,x)=3(↑n)(x+1)(↑n)2

ここで a→→b→c→d=a→a→…→a→c→d (aがb個)

とするとき、以下の順に証明を進める。

(1) s(1)[*,Q(n,x)]≧[*,P(1,n,x)] (帰納法で証明)
(2) s(1)[*,P(m,n,x)]≧[*,P(m+1,n,x)] (帰納法で証明)
(3) s(1)^m[*,Q(n,x)]≧[*,P(m,n,x)] (∵ 1,2)
(4) s(2)[*,Q(n,x),s(1)]≧[*,P(x,n,x),*] (∵ 3)
(5) P(x,n,x)≧Q(n+1,x) (計算)
(6) s(2)[*,Q(n,x),s(1)]≧[*,Q(n+1,x),*] (∵ 4,5)
(7) s(2)[*,x+1,s(1)]>[*,Q(1,x),*] (計算)
(8) s(2)^n[*,x+1,s(1)]>[*,Q(n,x),*] (∵ 6,7)
(9) s(3)[*,x+1,s(1),s(2)]>[*,Q(x,x),*,*] (∵ 8)
(10) s(3)[3,x+1,s(1),s(2)]>[*,3(↑x)(↑x)(x+1),*,*] (∵ 9)

なお、これらの式にあらわれる多変数関数は、集合の要素としては
m,n が定数でxが変数の1変数関数であると解釈するものとする。


(1) s(1)[*,Q(n,x)]≧[*,P(1,n,x)] の証明

Q(n,x)=3(↑n)(x+1)(↑n)2 に s(1) 写像を施した関数は、
2項漸化式を用いて

 B(0,y)=3(↑n)(y+1)(↑n)2
 B(x+1,0)=B(x,1)
 B(x+1,y+1)=B(x,B(x+1,y))
 g(x)=B(x,x)

とあらわされるので、
 B(x,y)≧3(↑n)(y+1)(↑n)(x+1)  (式1)
が示されれば、
 g(x)≧3(↑n)(x+1)(↑n)(x+1)=P(1,n,x)
となり、(1)が証明されたことになる。

そこで、式1を帰納法により示す。

(i) x=0 のとき
 B(x,y)=B(0,y)=3(↑n)(y+1)(↑n)2 (∵漸化式)
   >3(↑n)(y+1)(↑n)(x+1) (∵x=0) //
(ii) xのときに成り立つとして、x+1のときに成り立つことを示す。
 (iia) y=0のとき
  B(x+1,y)=B(x+1,0)=B(x,1)≧3(↑n)2(↑n)(x+1) (∵式1)
   >3(↑n)(y+1)(↑n)(x+2) (∵y=0) //
 (iib) yのときに成り立つとして、y+1のときに成り立つことを示す。
  B(x+1,y+1)=B(x, B(x+1,y)) (∵漸化式)
   ≧B(x, 3(↑n)(y+1)(↑n)(x+2)) (∵式1)
   ≧3(↑n)[3(↑n)(y+1)(↑n)(x+2)+1] (↑n)(x+1) (∵式1)
   >3(↑n)[3(↑n)(y+1)(↑n)(x+2)] (↑n)(x+1)
   =3(↑n)(y+2)(↑n)(x+2) //

(2) s(1)[*,P(m,n,x)]≧[*,P(m+1,n,x)] の証明

P(m,n,x)=3(↑n)(↑n)m(↑n)(x+1)(↑n)(x+1) に
s(1) 写像を施した関数は、

 B(0,y)=3(↑n)(↑n)m(↑n)(y+1)(↑n)(y+1)
 B(x+1,0)=B(x,1)
 B(x+1,y+1)=B(x,B(x+1,y))
 g(x)=B(x,x)

とあらわされるので、
 B(x,y)≧3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1)(↑n)(x+1) (式2)
が示されれば、
 g(x)≧3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(x+1)(↑n)(x+1)=P(m+1,n,x)
となり、(2)が証明されたことになる。

そこで、式2を帰納法により示す。

(i) x=0, y≧2 のとき
 B(x,y)=B(0,y)=3(↑n)(↑n)m(↑n)(y+1)(↑n)(y+1) (∵漸化式)
    ≧3(↑n)(↑n)m(↑n)3(↑n)(y+1) (∵y≧2)
    =3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1) (3(↑n)3のチェーンが1つ伸びる)
    =3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1)(↑n)(x+1) (∵x+1=1をチェーンに付加)
 よって式2が成り立つ。
(ii) x=1のとき (y≧1)
(ii-a) x=1, y=1 のとき
 B(x,y)=B(1,1)=B(0,B(1,0))=B(0,B(0,1)) (∵漸化式)
   =B(0,3(↑n)(↑n)m(↑n)2(↑n)2) (∵漸化式)
   =B(0,3(↑n)(↑n)m(↑n)[3(↑n)(↑n)m(↑n)1(↑n)2] ) (チェーンの展開)
   ≧B(0,3(↑n)(↑n)m(↑n)3) (∵チェーンの最後の数を比較)
   =B(0,3(↑n)(↑n)(m+1)) (3(↑n)3のチェーンが1つ伸びる)
   =3(↑n)(↑n)m(↑n)[3(↑n)(↑n)(m+1)+1] (↑n)[3(↑n)(↑n)(m+1)+1] (∵漸化式)
   >3(↑n)(↑n)m(↑n)3(↑n)[3(↑n)(↑n)(m+1)] (∵チェーンの2個目と最後の数を比較)
   =3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)[3(↑n)(↑n)(m+1)] (3(↑n)3のチェーンが1つ伸びる)
   =3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)2(↑n)2 (この式をチェーン展開すると上式になる)
   =3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1)(↑n)(x+1) (∵x=1, y=1)
 よって式2が成り立つ。
(ii-b) (x,y)=(1,y)のとき成立するとして、(x,y)=(1,y+1)のときに成立することを示す
 B(1,y+1)=B(0,B(1,y))≧B(0,3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1)(↑n)2) (∵漸化式)
   >3(↑n)(↑n)m(↑n)3(↑n)[3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1)(↑n)2] (∵漸化式)
   =3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)[3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1)(↑n)2] (↑n)1 (∵チェーンに1を付加)
   =3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+2)(↑n)2
 よって式2が成り立つ。

(iii) x(≧1)のときに成り立つとして(y≧1で成立すればよい)、x+1のときに成り立つことを示す。
(iii-a) y=0のとき
 B(x+1,y)=B(x+1,0)=B(x,1) (∵漸化式)
   ≧3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)2(↑n)(x+1) (∵式2)
   >3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1)(↑n)(x+1) (∵y=0)
 よって式2が成り立つ。
(iii-b) yのときに成り立つとして、y+1のときに成り立つことを示す。
 B(x+1,y+1)=B(x,B(x+1,y)) (∵漸化式)
   ≧B(x,3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1)(↑n)(x+2)) (∵式2)
   ≧3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)[3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1)(↑n)(x+2)+1] (↑n)(x+1) (∵式2)
   >3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)[3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+1)(↑n)(x+2)] (↑n)(x+1)
   =3(↑n)(↑n)(m+1)(↑n)(y+2)(↑n)(x+2)
 よって式2が成り立つ。

(3)から(10)の証明

(3)は(1),(2)より自明。
(4)は(3)とs(2)の定義より自明。
(5)の計算
 P(x,n,x)=3(↑n)(↑n)x(↑n)(x+1)(↑n)(x+1)
  ≧3(↑n)(↑n)x(↑n)2(↑n)2
  =3(↑n)(↑n)x(↑n)[3(↑n)(↑n)x]
  >3(↑n)(↑n)x(↑n)3
  =3(↑n)(↑n)(x+1)
  =3(↑n+1)(x+1)(↑n+1)2
  =Q(n+1,x)
(6)は(4)(5)より自明。
(7)の計算
 Q(1,x)=3→(x+2)→2=3↑↑(x+2)=3^3^3^…^3 (3がx+2個)
 すなわち、Q(1,x)はxの原始帰納的関数であり、s(1)[*,x+1] は
 これよりも大きい。さらに s(2)[*,x+1,s(1)] は大きい。
(8)(9)(10)は自明。


s(n)の定義にn=2を代入すると、s(2)の定義は
 (a) s(2)[m,f_0,f_1]:=[n,g_0,g_1]
  ただし、
 (b) g_1=f_1^{f_0(m)},
 (c) g_1[m,f_0]=[n,*],
 (d) g_1^x[m,f_0]=[*,r_x]と置く時、g_0(x)=r_x(x)
と書けます。ここで、(a)はs(2)とは自然数m,関数f_0,S変換f_1から、
自然数n,関数g_0,S変換g_1への写像である、という意味です。
(b)は、g_1はf_1をf_0(m)回繰り返した写像であるという意味です。
(c)は、そのg_1にて生成される数がnであるという意味です。
(d)は、生成される関数g_0の定義を記述しています。

ここで、
(4) s(2)[*,Q(n,x),s(1)]≧[*,P(x,n,x),*]
に戻り、(3)から(10)の証明をもっと詳しく説明します。
(4)と(a)を見比べると、f_0=Q(n,x), f_1=s(1)となります。
したがって、(a)よりg_1はf_1をある大きな回数繰り返したS変換に
なります。ここで、S変換の回数を繰り返すことによる効果を無視すると、
 g_1=s(1)
とすることができます。(d)にf_0=Q(n,x), f_1=s(1), g_1=s(1)
を代入すると、
 s(1)^x[*,Q(n,x)]=[*,r_x]と置く時、g_0(x)=r_x(x)
となります。(3)で
 s(1)^m[*,Q(n,x)]≧[*,P(m,n,x)]
が示されていますから、
 g_0(x)=r_x(x)≧P(x,n,x)
となります。このように、繰り返し回数mを変数xとする関数を生成する
変換が、SS変換です。

(5)でP(x,n,x)≧Q(n+1,x)と計算されたように、P(m,n,x)の
「チェーンを伸ばす回数m」を「変数x」とすることで、チェーンを
1つ回転する効果が得られます。それが(6)です。

多重リストによる関数バード数との比較      

a→b→c→dをf(a,b,c,d)のように表記する。
f(a)=a
f(a,b)=a^b
f(a,…,x,y,1)=f(a,…,x,y)
f(a,…,x,1,z)=f(a,…,x)
f(a,…,x,y,z)=f(a,…,x,f(a,…,x,y-1,z),z-1)

ここまでなら普通の→表記だが、一つ変数を加える。
f((a,…,z),(1))=f(a,…,z)
f((a),(n))=a
f((a,b),(n))=f((a,…,a),(n-1)) ただしaはb個
f((a,…,x,y,1),(n))=f((a,…,x,y),(n))
f((a,…,x,1,z),(n))=f((a,…,x),(n))
f((a,…,x,y,z),(n))=f((a,…,x,f((a,…,x,y-1,z),(n)),z-1),(n))

さらに、加えた変数をリストへと拡張する。
f((*,…,*),(1,b))=f(*,…,*)
f((*,…,*),(a,b))=f((*,…,*),(f((*,…,*),(a-1,b)),b-1))
f((*,…,*),(a,…,x,y,1))=f((*,…,*),(a,…,x,y))
f((*,…,*),(a,…,x,1,z))=f((*,…,*),(a,…,x))
f((*,…,*),(a,…,x,y,z))=f((*,…,*),(a,…,x,f((*,…,*),(a,…,x,y-1,z)),z-1))
そして、どんどんリストを増やしていく。
(*,…,*),…,(*,…,*)をリストの列と書く。

f(リストの列,(1))=f(リストの列)
f(リストの列,(1,b))=f(リストの列)
f(リストの列,(a,b))=f(リストの列,(f(リストの列,(a-1,b)),b-1))
f(リストの列,(a,…,x,y,1))=f(リストの列,(a,…,x,y))
f(リストの列,(a,…,x,1,z))=f(リストの列,(a,…,x))
f(リストの列,(a,…,x,y,z))=f(リストの列,(a,…,x,f(リストの列,(a,…,x,y-1,z)),z-1))

f(リストの列,(1),(n))=f(リストの列)
f(リストの列,(a),(n))=f(リストの列,(a))
f(リストの列,(1,b),(n))=f(リストの列)
f(リストの列,(a,b),(n))=f(リストの列,(a,…,a),(n-1)) ただしaはb個
f(リストの列,(a,…,x,y,1),(n))=f(リストの列,(a,…,x,y),(n))
f(リストの列,(a,…,x,1,z),(n))=f(リストの列,(a,…,x),(n))
f(リストの列,(a,…,x,y,z),(n))=f(リストの列,(a,…,x,f(リストの列,(a,…,x,y-1,z),n),z-1),(n))
こうして、リストが二重になった関数ができた。さらに、三重以降に拡張する。
三重以降も上と同様に、一番最後の一重リストから計算していく。
f(m重リストの列,(a,b),(n))=f(m重リストの列,((a,…,a),…,(a,…,a)),(n-1))
ただし((a,…,a),…,(a,…,a))はm重リストで、各リストの要素はb個。
例えばm=3,a=4,b=2のとき(((4,4),(4,4)),((4,4),(4,4)))となる。

これで、多重リストの関数fができた。次にf_2を定義する。
f_2の計算法はfとほとんど同じだが、下の式が違う。
f_2(a,b)=f((a,…,a),…,(a,…,a))
ただし((a,…,a),…,(a,…,a))はb重リストで、各リストの要素はb個。
同様にf_3以降も定義する。
f_n(a,b)=f_(n-1)((a,…,a),…,(a,…,a))

このときのf_64(3,3)の大きさはどのくらいだろうか。

具体的な例を挙げてみます。()の数が見づらいですが注意して見てください。
f((a,b),(c,3,3))=f((a,b),(c,f((a,b),(c,2,3)),2))
f((a,b),(c,3,3),(4))=f((a,b),(c,f((a,b),(c,2,3),(4)),2),(4))
f(((a,b),(c,3,3),(4)),((5)))=f(((a,b),(c,f(((a,b),(c,2,3),(4)),((5))),2),(4)),((5)))
f((a,b),(4,3))=f((a,b),(f((a,b),(3,3)),2))
f((a,b),(4,3),(6))=f((a,b),(4,4,4),(5))
f(((a,b),(4,3),(6)),((7)))=f(((a,b),(4,4,4),(5)),((7)))
f(((a,b),(c,d)),((4,3)),((6)))=f(((a,b),(c,d)),((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((5)))
f(((a,b),(c,d)))=f((a,b),(c,d))
f(((a,b)),((c)))≠f((a,b),(c))
リストの途中に1があればそこから後は消去できますし、
リストの最後に1を付け足すこともできます。
f((a,b,1,c,d),(x,y))=f((a,b),(x,y))
f((a,b),(1),(c,d))=f((a,b))=f(a,b)
f((a,b),(c),(2))=f((a,b),(c,1),(2))=f((a,b),(c),(1))=f((a,b),(c))
f_2(4,3)=f(((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)))
この関数の計算法に関して大雑把に説明してみる。
基本的には、a→…→x→y→z=a→…→x→(a→…→x→y-1→z)→z-1
のようなことを繰り返して最後のほうから数を減らしていく。
例:f((a,b),(c,x),(y,z))=f((a,b),(c,x),(f((a,b),(c,x),(y-1,z)),z-1))
リストの途中に1が出たら、そのリストのそこから後は消去できる。
例:f((a,b),(c,x),(y,1))=f((a,b),(c,x),(y))
例:f((a,b),(c,x),(1,z))=f((a,b),(c,x))
注:f(((a,b),(1,x)),((y)))=f(((a,b)),((y))) (左のyは消去できない)
括弧の中身が数一つになったら、ひとまずその数を無視してその前を計算する。
例:f((a,b),(c,x),(y))=f((a,b),(f((a,b),(c-1,x),(y)),x-1),(y))
数一つの括弧の左に数二つの括弧となったら、下の例のようにする。
例:f((4,3),(n))=f((4,4,4),(n-1)) (4を3個並べる)
例:f(((4,3)),((n)))=f(((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((n-1))) (括弧が何重なのかは合わせる)
注:f((a,b),(x),(y))=f((a,b),(x,1),(y))=f((a,b),(x),(y-1))=…=f((a,b),(x),(1))=f((a,b),(x))
  (1を補って考える。最後の括弧の中身が1になったら消去する。)
全体が多重括弧で囲まれたら、一重括弧にする。
例:f((a,b,c))=f(a,b,c)
例:f(((a,b),(x,y)))=f((a,b),(x,y))
最後に数が二つだけになったら、下のようにする。
例:f(a,b)=a^b
例:f_3(4,3)=f_2(((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)))
  (3重括弧にして、4を3つずつ並べる)


    これをもってバード数との比較。

↑n(a,b,2):=↑n-1(a,a,...,a) (aがb個)ということから、
↑n(a,b,2)=f((a,b,1),(n))
↑n(a,b,c)=f((a,b,c-1),(n))
Gはグラハム数とすると、
G<3→3→3→3=f(3,3,3,3)

N=3(↑G)[4]3
=3(↑G+1)3(↑G+1)4
=↑G+1(3,3,4)
=f((3,3,3),(G))
=f((3,3),(G+1))
<f((3,3),(f(3,3,3,3)))
=f((3,3),(f((3,4),(2))))
<f((3,3),(f((3,3),(3))))
<f((3,3),(f((3,3),(f(3,3)))))
=f((3,3),(3,2))

X(1)=N(↑N)[N]N
=f((N,N,N-1),(N))
<f((N,3),(N+1))
<f((N,3),(f(N,3)))
=f((N,3),(2,2))
<f((3,3),(3,N))
<f((3,3),(3,f((3,3),(3,2))))
<f((3,3),(3,f((3,3),(3,f((3,3),(3))))))
=f((3,3),(3,3,2))
X(n)=X(n-1)(↑X(n-1))[X(n-1)]X(n-1)
=f((X(n-1),X(n-1),X(n-1)-1),(X(n-1)))
<f((X(n-1),3),(X(n-1)+1))
<f((X(n-1),3),(f(X(n-1),3)))
=f((X(n-1),3),(2,2))
<f((3,3),(3,X(n-1)))

X(2)<f((3,3),(3,X(1)))
<f((3,3),(3,f((3,3),(3,3,2))))
=f((3,3),(3,4,2))
以下同様にして、
X(n)<f((3,3),(3,n+2,2))

X_2(1)=X_1(N)=X(N)
<f((3,3),(3,N+2,2))
<f((3,3),(3,3,N))
<f((3,3),(3,3,f((3,3),(3,2))))
<f((3,3),(3,3,f((3,3),(3,3))))
=f((3,3),(3,3,2,2))

X_2(2)=(X_1)^2(N)=X_1(X_1(N))
<f((3,3),(3,X_1(N)+2,2))
<f((3,3),(3,3,X_1(N)))
<f((3,3),(3,3,f((3,3),(3,3,2,2))))
=f((3,3),(3,3,3,2))
以下同様にして、
X_2(n)<f((3,3),(3,3,n+1,2))
X_3(1)=X_2(N)
<f((3,3),(3,3,N+1,2))
<f((3,3),(3,3,3,N))
<f((3,3),(3,3,3,f((3,3),(3,2))))
<f((3,3),(3,3,3,f((3,3),(3,3,3))))
=f((3,3),(3,3,3,2,2))

以下同様にして、
X_n(1)<f((3,3),(3,…3がn個…,3,2,2))
<f((3,3),(3,n+2),(2))

H=X_N(N)=X_(N+1)(1)
<f((3,3),(3,N+3),(2))
<f((3,3),(3,3),(N))
<f((3,3),(3,3),(f((3,3),(3,2))))
<f((3,3),(3,3),(f((3,3),(3,3))))
=f((3,3),(3,3),(2,2))

以下の説明では入れ子操作をn回行った数をY_nと表す。
Y_1=X_H(N)=X_(H+1)(1)
<f((3,3),(3,H+3),(2))
<f((3,3),(3,3),(H))
<f((3,3),(3,3),(f((3,3),(3,3),(2,2))))
=f((3,3),(3,3),(3,2))

Y_2=X_(X_H(N))(N)=X_(Y_1)(N)=X_((Y_1)+1)(1)
<f((3,3),(3,(Y_1)+3),(2))
<f((3,3),(3,3),(Y_1))
<f((3,3),(3,3),(f((3,3),(3,3),(3,2))))
=f((3,3),(3,3),(4,2))
以下同様にして、
Y_n<f((3,3),(3,3),(n+2,2))
バード数=Y_(X_H(N))
<f((3,3),(3,3),(X_H(N)+2,2))
<f((3,3),(3,3),(3,X_H(N)))
<f((3,3),(3,3),(3,f((3,3),(3,3),(3,2))))
<f((3,3),(3,3),(3,f((3,3),(3,3),(3,2,2))))))
=f((3,3),(3,3),(3,3,2)))
<f((3,3,3),(3,3,3),(3,3,3))
<f(((3,3)),((2)))

∴バード数<f(((3,3)),((2)))
無論、バード数よりf_64(3,3)のほうがずっと大きい。



pptで目で見るヒドラゲーム


落として眺めてみてください。 1 2


とりあえず読もう「巨大数論」

ふぃっしゅしゅ氏による総括pdf現時点最新版です。スレッド全部読むよりこっちの方が精神的。

これ




巨大数研究室